Calcul infinitésimal Exemples

$(6 y - \sec^{2} (y)) d y - (1 + \sin (x)) d x = 0$

Étape 1

Ajoutez $(1 + \sin (x)) d x$ aux deux côtés de l’équation.

$(6 y - \sec^{2} (y)) d y = (1 + \sin (x)) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int 6 y - \sec^{2} (y) d y = \int 1 + \sin (x) d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 6 y d y + \int - \sec^{2} (y) d y = \int 1 + \sin (x) d x$

Étape 2.2.2

Comme $6$ est constant par rapport à $y$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$6 \int y d y + \int - \sec^{2} (y) d y = \int 1 + \sin (x) d x$

Étape 2.2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - \sec^{2} (y) d y = \int 1 + \sin (x) d x$

Étape 2.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$6 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - \int \sec^{2} (y) d y = \int 1 + \sin (x) d x$

Étape 2.2.5

Comme la dérivée de $\tan (y)$ est $\sec^{2} (y)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (y)$ est $\tan (y)$ .

$6 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - (\tan (y) + C_{2}) = \int 1 + \sin (x) d x$

Étape 2.2.6

Simplifiez

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Étape 2.2.6.1

Simplifiez

$6 (\frac{1}{2}) y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int 1 + \sin (x) d x$

Étape 2.2.6.2

Simplifiez

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Étape 2.2.6.2.1

Associez $6$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{6}{2} y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int 1 + \sin (x) d x$

Étape 2.2.6.2.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 2.2.6.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int 1 + \sin (x) d x$

Étape 2.2.6.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.6.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int 1 + \sin (x) d x$

Étape 2.2.6.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int 1 + \sin (x) d x$

Étape 2.2.6.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{1} y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int 1 + \sin (x) d x$

Étape 2.2.6.2.2.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$3 y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int 1 + \sin (x) d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$3 y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int d x + \int \sin (x) d x$

Étape 2.3.2

Appliquez la règle de la constante.

$3 y^{2} - \tan (y) + C_{3} = x + C_{4} + \int \sin (x) d x$

Étape 2.3.3

L’intégrale de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \cos (x)$ .

$3 y^{2} - \tan (y) + C_{3} = x + C_{4} - \cos (x) + C_{5}$

Étape 2.3.4

Simplifiez

$3 y^{2} - \tan (y) + C_{3} = x - \cos (x) + C_{6}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$3 y^{2} - \tan (y) = x - \cos (x) + K$