Calcul infinitésimal Exemples

$x \ln (x) \frac{d y}{d x} + y = x e^{x}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x \ln (x) \frac{d y}{d x} + y = x e^{x}$ par $x \ln (x)$ .

$\frac{x \ln (x) \frac{d y}{d x}}{x \ln (x)} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{x e^{x}}{x \ln (x)}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (x) \frac{d y}{d x}}{x \ln (x)} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{x e^{x}}{x \ln (x)}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln (x) \frac{d y}{d x}}{\ln (x)} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{x e^{x}}{x \ln (x)}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $\ln (x)$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (x) \frac{d y}{d x}}{\ln (x)} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{x e^{x}}{x \ln (x)}$

Étape 1.3.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{x e^{x}}{x \ln (x)}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{x e^{x}}{x \ln (x)}$

Étape 1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Étape 1.5

Factorisez $y$ à partir de $\frac{y}{x \ln (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x \ln (x)} = \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Étape 1.6

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{1}{x \ln (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x \ln (x)} y = \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{1}{x \ln (x)}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{1}{x \ln (x)} d x}$

Étape 2.2

Intégrez $\frac{1}{x \ln (x)}$ .

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Étape 2.2.1

Laissez $u = \ln (x)$ . Alors $d u = \frac{1}{x} d x$ , donc $x d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = \ln (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 2.2.1.1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{\int \frac{1}{u} d u}$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$e^{\ln (| u |) + C}$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\ln (x)$ .

$e^{\ln (| \ln (x) |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{\ln (\ln (x))}$

Étape 2.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$\ln (x)$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\ln (x)$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $\ln (x)$ .

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \ln (x) (\frac{1}{x \ln (x)} y) = \ln (x) \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{1}{x \ln (x)}$ et $y$ .

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \ln (x) \frac{y}{x \ln (x)} = \ln (x) \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun de $\ln (x)$ .

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Étape 3.2.2.1

Factorisez $\ln (x)$ à partir de $x \ln (x)$ .

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \ln (x) \frac{y}{\ln (x) x} = \ln (x) \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Étape 3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \ln (x) \frac{y}{\ln (x) x} = \ln (x) \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Étape 3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \ln (x) \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $\ln (x)$ .

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \ln (x) \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Étape 3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = e^{x}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [\ln (x) y] = e^{x}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [\ln (x) y] d x = \int e^{x} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$\ln (x) y = \int e^{x} d x$

Étape 7

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$\ln (x) y = e^{x} + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $\ln (x) y = e^{x} + C$ par $\ln (x)$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $\ln (x) y = e^{x} + C$ par $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x) y}{\ln (x)} = \frac{e^{x}}{\ln (x)} + \frac{C}{\ln (x)}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (x)$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (x) y}{\ln (x)} = \frac{e^{x}}{\ln (x)} + \frac{C}{\ln (x)}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{\ln (x)} + \frac{C}{\ln (x)}$