Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{x e^{x}}{2 y}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x e^{x}}{2 y}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $2 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x e^{x}}{y \cdot 2}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x e^{x}}{y \cdot 2}$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x e^{x}}{2}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$y d y = \frac{x e^{x}}{2} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int \frac{x e^{x}}{2} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x e^{x}}{2} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int x e^{x} d x$

Étape 2.3.2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{x}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Étape 2.3.3

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x e^{x} - (e^{x} + C_{2}))$

Étape 2.3.4

Simplifiez

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} (x e^{x}) + \frac{1}{2} (- e^{x}) + K)$

Étape 3.2.2.1.1.2

Multipliez $\frac{1}{2} (x e^{x})$ .

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Étape 3.2.2.1.1.2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x}{2} e^{x} + \frac{1}{2} (- e^{x}) + K)$

Étape 3.2.2.1.1.2.2

Associez $\frac{x}{2}$ et $e^{x}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x e^{x}}{2} + \frac{1}{2} (- e^{x}) + K)$

Étape 3.2.2.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{x}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x e^{x}}{2} - \frac{e^{x}}{2} + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 \frac{x e^{x}}{2} + 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = 2 \frac{x e^{x}}{2} + 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = x e^{x} + 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{e^{x}}{2}$ dans le numérateur.

$y^{2} = x e^{x} + 2 \frac{- e^{x}}{2} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = x e^{x} + 2 \frac{- e^{x}}{2} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = x e^{x} - e^{x} + 2 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{x e^{x} - e^{x} + 2 K}$

Étape 3.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{x e^{x} - e^{x} + 2 K}$

Étape 3.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{x e^{x} - e^{x} + 2 K}$

Étape 3.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{x e^{x} - e^{x} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x e^{x} - e^{x} + 2 K}$

$y = \sqrt{x e^{x} - e^{x} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x e^{x} - e^{x} + 2 K}$

$y = \sqrt{x e^{x} - e^{x} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x e^{x} - e^{x} + 2 K}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \sqrt{x e^{x} - e^{x} + K}$

$y = - \sqrt{x e^{x} - e^{x} + K}$