Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = y x^{4}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Ajoutez $\frac{y}{x}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} = y x^{4} + \frac{y}{x}$

Étape 1.2

Factorisez.

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Étape 1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y x^{4} + \frac{y}{x}$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $y$ à partir de $y x^{4}$ .

$\frac{d y}{d x} = y (x^{4}) + \frac{y}{x}$

Étape 1.2.1.2

Factorisez $y$ à partir de $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = y (x^{4}) + y \frac{1}{x}$

Étape 1.2.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y (x^{4}) + y \frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = y (x^{4} + \frac{1}{x})$

Étape 1.2.2

Pour écrire $x^{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = y (\frac{x^{4} x}{x} + \frac{1}{x})$

Étape 1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{x^{4} x + 1}{x}$

Étape 1.2.4

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.4.1

Multipliez $x^{4}$ par $x$ .

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Étape 1.2.4.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y \frac{x^{4} x^{1} + 1}{x}$

Étape 1.2.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{x^{4 + 1} + 1}{x}$

Étape 1.2.4.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y \frac{x^{5} + 1}{x}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x^{5} + 1}{x})$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x^{5} + 1}{x})$

Étape 1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{5} + 1}{x}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y} d y = \frac{x^{5} + 1}{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x^{5} + 1}{x} d x$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{5} + 1}{x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{5}}{x} + \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{5}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.3

Annulez le facteur commun à $x^{5}$ et $x$ .

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Étape 2.3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x \cdot x^{4}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.3.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{4}}{1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.3.2.5

Divisez $x^{4}$ par $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{4} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.5

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

Étape 2.3.6

Simplifiez

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + \ln (| x |) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{5} x^{5} + \ln (| x |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{5}$ .

$\ln (| y |) = \frac{x^{5}}{5} + \ln (| x |) + C$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y |) - \ln (| x |) = \frac{x^{5}}{5} + C$

Étape 3.3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x |}) = \frac{x^{5}}{5} + C$

Étape 3.4

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x |})} = e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$

Étape 3.5

Réécrivez $\ln (\frac{| y |}{| x |}) = \frac{x^{5}}{5} + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{x^{5}}{5} + C} = \frac{| y |}{| x |}$

Étape 3.6

Résolvez $y$ .

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Étape 3.6.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| y |}{| x |} = e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$ .

$\frac{| y |}{| x |} = e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$

Étape 3.6.2

Multipliez les deux côtés par $| x |$ .

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{\frac{x^{5}}{5} + C} | x |$

Étape 3.6.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.3.1

Annulez le facteur commun de $| x |$ .

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Étape 3.6.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{\frac{x^{5}}{5} + C} | x |$

Étape 3.6.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$| y | = e^{\frac{x^{5}}{5} + C} | x |$

Étape 3.6.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.6.4.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{\frac{x^{5}}{5} + C} | x |$ .

$| y | = | x | e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$

Étape 3.6.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x | e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Réécrivez $e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$ comme $e^{\frac{x^{5}}{5}} e^{C}$ .

$y = \pm | x | (e^{\frac{x^{5}}{5}} e^{C})$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{\frac{x^{5}}{5}}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm | x | (e^{C} e^{\frac{x^{5}}{5}})$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C | x | e^{\frac{x^{5}}{5}}$