Calcul infinitésimal Exemples

$(\frac{y}{x}) \frac{d y}{d x} = e^{x^{2} + y^{2}}$ , $y (0) = 0$

Étape 1

Laissez $v_{1} = x^{2} + y^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2} + y^{2}$ par $v_{1}$ .

$\frac{y}{x} \frac{d y}{d x} = e^{v_{1}}$

Étape 2

Déterminez $\frac{d v_{1}}{d x}$ en différenciant $x^{2} + y^{2}$ .

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $y$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 x + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 x + 2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 x + 2 y y'$

Étape 2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 y y' + 2 x$

$\frac{d v}{d x} = 2 y y' + 2 x$

Étape 3

Remplacez à nouveau la dérivée dans l’équation différentielle.

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x}{2 x} = e^{v_{1}}$

Étape 4

Laissez $v_{2} = e^{v_{1}}$ . Remplacez toutes les occurrences de $e^{v_{1}}$ par $v_{2}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x}{2 x} = v_{2}$

Étape 5

Déterminez $\frac{d v_{2}}{d x}$ en différenciant $e^{v_{1}}$ .

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Étape 5.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = v_{1}$ .

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Étape 5.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $v_{1}$ .

$\frac{d v_{2}}{d x} = \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [v_{1}]$

Étape 5.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{d v_{2}}{d x} = e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [v_{1}]$

Étape 5.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $v_{1}$ .

$\frac{d v_{2}}{d x} = e^{v_{1}} \frac{d}{d x} [v_{1}]$

Étape 5.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [v_{1}]$ comme $v_{1}'$ .

$\frac{d v_{2}}{d x} = e^{v_{1}} v_{1}'$

$\frac{d v}{d x} = e^{v_{1}} v_{1}'$

Étape 6

Remplacez $e^{v_{1}}$ par $v_{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = v_{2} v_{1}'$

Étape 7

Remplacez à nouveau la dérivée dans l’équation différentielle.

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v_{2}}{2 v_{2} x} = v_{2}$

Étape 8

Séparez les variables.

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Étape 8.1

Résolvez $\frac{d v}{d x}$ .

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Étape 8.1.1

Multipliez les deux côtés par $2 v_{2} x$ .

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{2 v x} (2 v_{2} x) = v (2 v x)$

Étape 8.1.2

Simplifiez

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Étape 8.1.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.1.2.1.1

Simplifiez $\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{2 v x} (2 v_{2} x)$ .

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Étape 8.1.2.1.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{2 v x} (v_{2} (x)) = v (2 v x)$

Étape 8.1.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.1.2.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 v_{2} x$ .

$2 \frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{2 (v (x))} (v_{2} (x)) = v (2 v x)$

Étape 8.1.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{2 (v (x))} (v_{2} (x)) = v (2 v x)$

Étape 8.1.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{v (x)} (v_{2} (x)) = v (2 v x)$

Étape 8.1.2.1.1.3

Annulez le facteur commun de $v_{2} x$ .

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Étape 8.1.2.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{v (x)} (v_{2} (x)) = v (2 v x)$

Étape 8.1.2.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d v}{d x} - 2 x v_{2} = v (2 v x)$

Étape 8.1.2.1.1.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.1.2.1.1.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v_{2} x = v (2 v x)$

Étape 8.1.2.1.1.4.2

Remettez dans l’ordre $\frac{d v}{d x}$ et $- 2 v_{2} x$ .

$- 2 v_{2} x + \frac{d v}{d x} = v (2 v x)$

Étape 8.1.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.1.2.2.1

Simplifiez $v (2 v x)$ .

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Étape 8.1.2.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 2 v_{2} x + \frac{d v}{d x} = 2 v (v x)$

Étape 8.1.2.2.1.2

Multipliez $v_{2}$ par $v_{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.1.2.2.1.2.1

Déplacez $v_{2}$ .

$- 2 v_{2} x + \frac{d v}{d x} = 2 (v \cdot v) x$

Étape 8.1.2.2.1.2.2

Multipliez $v_{2}$ par $v_{2}$ .

$- 2 v_{2} x + \frac{d v}{d x} = 2 {v_{2}}^{2} x$

Étape 8.1.3

Ajoutez $2 v_{2} x$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d v}{d x} = 2 {v_{2}}^{2} x + 2 v_{2} x$

Étape 8.2

Factorisez $2 v_{2} x$ à partir de $2 {v_{2}}^{2} x + 2 v_{2} x$ .

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Étape 8.2.1

Factorisez $2 v_{2} x$ à partir de $2 {v_{2}}^{2} x$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 v_{2} x (v_{2}) + 2 v_{2} x$

Étape 8.2.2

Factorisez $2 v_{2} x$ à partir de $2 v_{2} x$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 v_{2} x (v_{2}) + 2 v_{2} x (1)$

Étape 8.2.3

Factorisez $2 v_{2} x$ à partir de $2 v_{2} x (v_{2}) + 2 v_{2} x (1)$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 v_{2} x (v_{2} + 1)$

Étape 8.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)}$ .

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} (2 v_{2} x (v_{2} + 1))$

Étape 8.4

Simplifiez

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Étape 8.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = 2 \frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} (v_{2} x (v_{2} + 1))$

Étape 8.4.2

Associez $2$ et $\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)}$ .

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{v_{2} (v_{2} + 1)} (v_{2} x (v_{2} + 1))$

Étape 8.4.3

Annulez le facteur commun de $v_{2} (v_{2} + 1)$ .

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Étape 8.4.3.1

Factorisez $v_{2} (v_{2} + 1)$ à partir de $v_{2} x (v_{2} + 1)$ .

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{v_{2} (v_{2} + 1)} (v_{2} (v_{2} + 1) (x))$

Étape 8.4.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{v_{2} (v_{2} + 1)} (v_{2} (v_{2} + 1) x)$

Étape 8.4.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = 2 x$

Étape 8.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} d v = 2 x d x$

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} d v_{2} = 2 x d x$

Étape 9

Intégrez les deux côtés.

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Étape 9.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} d v_{2} = \int 2 x d x$

Étape 9.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 9.2.1

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 9.2.1.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 9.2.1.1.1

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $B$ .

$\frac{A}{v} + \frac{B}{v + 1}$

Étape 9.2.1.1.2

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $v (v + 1)$ .

$\frac{1 (v (v + 1))}{v (v + 1)} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Étape 9.2.1.1.3

Annulez le facteur commun de $v_{2}$ .

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Étape 9.2.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (v (v + 1))}{v (v + 1)} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Étape 9.2.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 (v + 1)}{v + 1} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Étape 9.2.1.1.4

Annulez le facteur commun de $v_{2} + 1$ .

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Étape 9.2.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (v + 1)}{v + 1} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Étape 9.2.1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Étape 9.2.1.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1.1.5.1

Annulez le facteur commun de $v_{2}$ .

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Étape 9.2.1.1.5.1.1

Annulez le facteur commun.

$1 = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Étape 9.2.1.1.5.1.2

Divisez $A (v_{2} + 1)$ par $1$ .

$1 = A (v + 1) + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Étape 9.2.1.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A (v) + A \cdot 1 + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Étape 9.2.1.1.5.3

Multipliez $A$ par $1$ .

$1 = A (v) + A + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Étape 9.2.1.1.5.4

Annulez le facteur commun de $v_{2} + 1$ .

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Étape 9.2.1.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$1 = A (v) + A + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Étape 9.2.1.1.5.4.2

Divisez $B v_{2}$ par $1$ .

$1 = A v + A + B v$

Étape 9.2.1.1.6

Déplacez $A$ .

$1 = A v + B v + A$

Étape 9.2.1.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 9.2.1.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $v_{2}$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = A + B$

Étape 9.2.1.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $v_{2}$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = A$

Étape 9.2.1.2.3

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$0 = A + B$

$1 = A$

$0 = A + B$

$1 = A$

Étape 9.2.1.3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 9.2.1.3.1

Réécrivez l’équation comme $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = A + B$

Étape 9.2.1.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $1$ dans chaque équation.

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Étape 9.2.1.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $0 = A + B$ par $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

Étape 9.2.1.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.2.1.3.2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

Étape 9.2.1.3.3

Résolvez $B$ dans $0 = 1 + B$ .

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Étape 9.2.1.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

Étape 9.2.1.3.3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

Étape 9.2.1.3.4

Résolvez le système d’équations.

$B = - 1 A = 1$

Étape 9.2.1.3.5

Indiquez toutes les solutions.

$B = - 1, A = 1$

Étape 9.2.1.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{v} + \frac{B}{v + 1}$ par les valeurs trouvées pour $A$ et $B$ .

$\frac{1}{v} + \frac{- 1}{v + 1}$

Étape 9.2.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int \frac{1}{v_{2}} - \frac{1}{v_{2} + 1} d v_{2} = \int 2 x d x$

Étape 9.2.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{1}{v_{2}} d v_{2} + \int - \frac{1}{v_{2} + 1} d v_{2} = \int 2 x d x$

Étape 9.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{v_{2}}$ par rapport à $v_{2}$ est $\ln (| v_{2} |)$ .

$\ln (| v_{2} |) + C_{1} + \int - \frac{1}{v_{2} + 1} d v_{2} = \int 2 x d x$

Étape 9.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $v_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| v_{2} |) + C_{1} - \int \frac{1}{v_{2} + 1} d v_{2} = \int 2 x d x$

Étape 9.2.5

Laissez $u_{3} = v_{2} + 1$ . Puis $d u_{3} = d v_{2}$ . Réécrivez avec $u_{3}$ et $d$ $u_{3}$ .

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Étape 9.2.5.1

Laissez $u_{3} = v_{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{3}}{d v_{2}}$ .

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Étape 9.2.5.1.1

Différenciez $v_{2} + 1$ .

$\frac{d}{d v_{2}} [v_{2} + 1]$

Étape 9.2.5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $v_{2} + 1$ par rapport à $v_{2}$ est $\frac{d}{d v_{2}} [v_{2}] + \frac{d}{d v_{2}} [1]$ .

$\frac{d}{d v_{2}} [v_{2}] + \frac{d}{d v_{2}} [1]$

Étape 9.2.5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d v_{2}} [{v_{2}}^{n}]$ est $n {v_{2}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d v_{2}} [1]$

Étape 9.2.5.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $v_{2}$ , la dérivée de $1$ par rapport à $v_{2}$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 9.2.5.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 9.2.5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{3}$ et $d u_{3}$ .

$\ln (| v_{2} |) + C_{1} - \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3} = \int 2 x d x$

Étape 9.2.6

L’intégrale de $\frac{1}{u_{3}}$ par rapport à $u_{3}$ est $\ln (| u_{3} |)$ .

$\ln (| v_{2} |) + C_{1} - (\ln (| u_{3} |) + C_{2}) = \int 2 x d x$

Étape 9.2.7

Simplifiez

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = \int 2 x d x$

Étape 9.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 9.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = 2 \int x d x$

Étape 9.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Étape 9.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.3.3.1

Réécrivez $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ comme $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ .

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Étape 9.3.3.2

Simplifiez

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Étape 9.3.3.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Étape 9.3.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Étape 9.3.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = 1 x^{2} + C_{4}$

Étape 9.3.3.2.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = x^{2} + C_{4}$

Étape 9.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) = x^{2} + C$

Étape 10

Résolvez $v_{2}$ .

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Étape 10.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |}) = x^{2} + C$

Étape 10.2

Pour résoudre $v_{2}$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |})} = e^{x^{2} + C}$

Étape 10.3

Réécrivez $\ln (\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |}) = x^{2} + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{x^{2} + C} = \frac{| v_{2} |}{| u_{3} |}$

Étape 10.4

Résolvez $v_{2}$ .

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Étape 10.4.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |} = e^{x^{2} + C}$ .

$\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |} = e^{x^{2} + C}$

Étape 10.4.2

Multipliez les deux côtés par $| u_{3} |$ .

$\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |} | u_{3} | = e^{x^{2} + C} | u_{3} |$

Étape 10.4.3

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.4.3.1

Annulez le facteur commun de $| u_{3} |$ .

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Étape 10.4.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |} | u_{3} | = e^{x^{2} + C} | u_{3} |$

Étape 10.4.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$| v_{2} | = e^{x^{2} + C} | u_{3} |$

Étape 10.4.4

Résolvez $v_{2}$ .

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Étape 10.4.4.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x^{2} + C} | u_{3} |$ .

$| v_{2} | = | u_{3} | e^{x^{2} + C}$

Étape 10.4.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$v_{2} = \pm | u_{3} | e^{x^{2} + C}$

Étape 11

Regroupez les termes constants.

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Étape 11.1

Réécrivez $e^{x^{2} + C}$ comme $e^{x^{2}} e^{C}$ .

$v_{2} = \pm | u_{3} | (e^{x^{2}} e^{C})$

Étape 11.2

Remettez dans l’ordre $e^{x^{2}}$ et $e^{C}$ .

$v_{2} = \pm | u_{3} | (e^{C} e^{x^{2}})$

Étape 11.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$v_{2} = C | u_{3} | e^{x^{2}}$

Étape 12

Remplacez toutes les occurrences de $v_{2}$ par $e^{v_{1}}$ .

$e^{v_{1}} = C | u_{3} | e^{x^{2}}$

Étape 13

Résolvez $v$ .

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Étape 13.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{v_{1}}) = \ln (C | u_{3} | e^{x^{2}})$

Étape 13.2

Développez le côté gauche.

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Étape 13.2.1

Développez $\ln (e^{v_{1}})$ en déplaçant $v_{1}$ hors du logarithme.

$v_{1} \ln (e) = \ln (C | u_{3} | e^{x^{2}})$

Étape 13.2.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$v_{1} \cdot 1 = \ln (C | u_{3} | e^{x^{2}})$

Étape 13.2.3

Multipliez $v_{1}$ par $1$ .

$v_{1} = \ln (C | u_{3} | e^{x^{2}})$

Étape 13.3

Développez le côté droit.

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Étape 13.3.1

Réécrivez $\ln (C | u_{3} | e^{x^{2}})$ comme $\ln (C | u_{3} |) + \ln (e^{x^{2}})$ .

$v_{1} = \ln (C | u_{3} |) + \ln (e^{x^{2}})$

Étape 13.3.2

Réécrivez $\ln (C | u_{3} |)$ comme $\ln (C) + \ln (| u_{3} |)$ .

$v_{1} = \ln (C) + \ln (| u_{3} |) + \ln (e^{x^{2}})$

Étape 13.3.3

Développez $\ln (e^{x^{2}})$ en déplaçant $x^{2}$ hors du logarithme.

$v_{1} = \ln (C) + \ln (| u_{3} |) + x^{2} \ln (e)$

Étape 13.3.4

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$v_{1} = \ln (C) + \ln (| u_{3} |) + x^{2} \cdot 1$

Étape 13.3.5

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$v_{1} = \ln (C) + \ln (| u_{3} |) + x^{2}$

Étape 13.4

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$v_{1} = \ln (C | u_{3} |) + x^{2}$

Étape 14

Remplacez toutes les occurrences de $v_{1}$ par $x^{2} + y^{2}$ .

$x^{2} + y^{2} = \ln (C | u_{3} |) + x^{2}$

Étape 15

Résolvez $y$ .

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Étape 15.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 15.1.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} = \ln (C | u_{3} |) + x^{2} - x^{2}$

Étape 15.1.2

Associez les termes opposés dans $\ln (C | u_{3} |) + x^{2} - x^{2}$ .

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Étape 15.1.2.1

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$y^{2} = \ln (C | u_{3} |) + 0$

Étape 15.1.2.2

Additionnez $\ln (C | u_{3} |)$ et $0$ .

$y^{2} = \ln (C | u_{3} |)$

Étape 15.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

Étape 15.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 15.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

Étape 15.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

Étape 15.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

$y = - \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

$y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

$y = - \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

$y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

$y = - \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

Étape 16

Comme $y$ est non négatif dans la condition initiale $(0, 0)$ , ne tenez compte que de $y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$ pour déterminer le $C$ . Remplacez $x$ par $0$ et $y$ par $0$ .

$0 = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

Étape 17

Résolvez $C$ .

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Étape 17.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{\ln (C | u_{3} |)} = 0$ .

$\sqrt{\ln (C | u_{3} |)} = 0$

Étape 17.2

Résolvez $C$ .

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Étape 17.2.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{\ln (C | u_{3} |)}}^{2} = 0^{2}$

Étape 17.2.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 17.2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$ comme ${\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 17.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 17.2.2.2.1

Simplifiez ${({\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 17.2.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 17.2.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 17.2.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 17.2.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 17.2.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln^{1} (C | u_{3} |) = 0^{2}$

Étape 17.2.2.2.1.2

Simplifiez

$\ln (C | u_{3} |) = 0^{2}$

Étape 17.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 17.2.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\ln (C | u_{3} |) = 0$

Étape 17.2.3

Résolvez $C$ .

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Étape 17.2.3.1

Pour résoudre $C$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (C | u_{3} |)} = e^{0}$

Étape 17.2.3.2

Réécrivez $\ln (C | u_{3} |) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{0} = C | u_{3} |$

Étape 17.2.3.3

Résolvez $C$ .

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Étape 17.2.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $C | u_{3} | = e^{0}$ .

$C | u_{3} | = e^{0}$

Étape 17.2.3.3.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$C | u_{3} | = 1$

Étape 17.2.3.3.3

Divisez chaque terme dans $C | u_{3} | = 1$ par $| u_{3} |$ et simplifiez.

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Étape 17.2.3.3.3.1

Divisez chaque terme dans $C | u_{3} | = 1$ par $| u_{3} |$ .

$\frac{C | u_{3} |}{| u_{3} |} = \frac{1}{| u_{3} |}$

Étape 17.2.3.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.2.3.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $| u_{3} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.2.3.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{C | u_{3} |}{| u_{3} |} = \frac{1}{| u_{3} |}$

Étape 17.2.3.3.3.2.1.2

Divisez $C$ par $1$ .

$C = \frac{1}{| u_{3} |}$

Étape 18

Remplacez $C$ par $\frac{1}{| u_{3} |}$ dans $y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$ et simplifiez.

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Étape 18.1

Remplacez $C$ par $\frac{1}{| u_{3} |}$ .

$y = \sqrt{\ln (\frac{1}{| u_{3} |} | u_{3} |)}$

Étape 18.2

Annulez le facteur commun de $| u_{3} |$ .

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Étape 18.2.1

Annulez le facteur commun.

$y = \sqrt{\ln (\frac{1}{| u_{3} |} | u_{3} |)}$

Étape 18.2.2

Réécrivez l’expression.

$y = \sqrt{\ln (1)}$

Étape 18.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$y = \sqrt{0}$

Étape 18.4

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$y = \sqrt{0^{2}}$

Étape 18.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = 0$