Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{\sqrt{x}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = \frac{4}{\sqrt{x}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \frac{4}{\sqrt{x}} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{4}{\sqrt{x}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Étape 2.3.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 2.3.2.2

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$y + C_{1} = 4 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 2.3.2.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 4 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 2.3.2.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$y + C_{1} = 4 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 2.3.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + C_{1} = 4 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = 4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Étape 2.3.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.4.1

Réécrivez $4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ comme $4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$y + C_{1} = 8 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = 8 x^{\frac{1}{2}} + K$