Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = y^{2} + 1$ that satisfies the initial condition $y (1) = 0$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y^{2} + 1$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = 1$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = 1 d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.1.1

Remettez dans l’ordre $y^{2}$ et $1$ .

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int d x$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int d x$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ par rapport à $y$ est $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int d x$

Étape 2.3

Appliquez la règle de la constante.

$\arctan (y) + C_{1} = x + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\arctan (y) = x + K$

Étape 3

Prenez l’arc tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de l’arc tangente.

$y = \tan (x + K)$

Étape 4

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $1$ et $y$ par $0$ dans $y = \tan (x + K)$ .

$0 = \tan (1 + K)$

Étape 5

Résolvez $K$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $\tan (1 + K) = 0$ .

$\tan (1 + K) = 0$

Étape 5.2

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $K$ de l’intérieur de la tangente.

$1 + K = \arctan (0)$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$1 + K = 0$

Étape 5.4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$K = - 1$

Étape 5.5

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$1 + K = π + 0$

Étape 5.6

Résolvez $K$ .

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Étape 5.6.1

Additionnez $π$ et $0$ .

$1 + K = π$

Étape 5.6.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$K = π - 1$

Étape 5.7

Déterminez la période de $\tan (1 + K)$ .

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Étape 5.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 5.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 5.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 5.7.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 5.8

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 5.8.1

Ajoutez $π$ à $- 1$ pour déterminer l’angle positif.

$- 1 + π$

Étape 5.8.2

Indiquez les nouveaux angles.

$K = - 1 + π$

Étape 5.9

La période de la fonction $\tan (1 + K)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$K = - 1 + π + π n, π - 1 + π + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5.10

Consolidez $- 1 + π + π n$ et $π - 1 + π + π n$ en $- 1 + π + π n$ .

$K = - 1 + π + π n$

Étape 6

Remplacez $K$ par $- 1 + π + π n$ dans $y = \tan (x + K)$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Remplacez $K$ par $- 1 + π + π n$ .

$y = \tan (x - 1 + π + π n)$