Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} - y^{2}}}{x}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle en fonction de $\frac{y}{x}$ .

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Étape 1.1

Supposez que $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} - y^{2}}}{\sqrt{x^{2}}}$

Étape 1.2

Associez $\sqrt{x^{2} - y^{2}}$ et $\sqrt{x^{2}}$ en un radical unique.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}}}$

Étape 1.3

Séparez $\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}}$ et simplifiez.

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Étape 1.3.1

Divisez la fraction $\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}}$ en deux fractions.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- y^{2}}{x^{2}}}$

Étape 1.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- y^{2}}{x^{2}}}$

Étape 1.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{- y^{2}}{x^{2}}}$

Étape 1.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Étape 1.4

Réécrivez $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ comme ${(\frac{y}{x})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 - {(\frac{y}{x})}^{2}}$

Étape 2

Laissez $V = \frac{y}{x}$ . Remplacez $\frac{y}{x}$ par $V$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{1 - V^{2}}$

Étape 3

Résolvez $V = \frac{y}{x}$ pour $y$ .

$y = V x$

Étape 4

Utilisez la règle de produit pour déterminer la dérivée de $y = V x$ par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Étape 5

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{1 - V^{2}}$

Étape 6

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 6.1

Séparez les variables.

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Étape 6.1.1

Résolvez $\frac{d V}{d x}$ .

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Étape 6.1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{1^{2} - V^{2}}$

Étape 6.1.1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$

Étape 6.1.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d V}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.1.1.2.1

Soustrayez $V$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d V}{d x} = V + \sqrt{(1 + V) (1 - V)} - V$

Étape 6.1.1.2.2

Associez les termes opposés dans $V + \sqrt{(1 + V) (1 - V)} - V$ .

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Étape 6.1.1.2.2.1

Soustrayez $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$

Étape 6.1.1.2.2.2

Additionnez $0$ et $\sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$

Étape 6.1.1.3

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 6.1.1.3.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Étape 6.1.1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.1.1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Étape 6.1.1.3.2.1.2

Divisez $\frac{d V}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Étape 6.1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Étape 6.1.3

Annulez le facteur commun de $\sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ .

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Étape 6.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Étape 6.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 6.1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} d V = \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 6.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Complétez le carré.

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Étape 6.2.2.1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.2.1.1.1

Développez $(1 + V) (1 - V)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.2.2.1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 (1 - V) + V (1 - V)$

Étape 6.2.2.1.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cdot 1 + 1 (- V) + V (1 - V)$

Étape 6.2.2.1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cdot 1 + 1 (- V) + V \cdot 1 + V (- V)$

Étape 6.2.2.1.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.2.2.1.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.1.1.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 + 1 (- V) + V \cdot 1 + V (- V)$

Étape 6.2.2.1.1.2.1.2

Multipliez $- V$ par $1$ .

$1 - V + V \cdot 1 + V (- V)$

Étape 6.2.2.1.1.2.1.3

Multipliez $V$ par $1$ .

$1 - V + V + V (- V)$

Étape 6.2.2.1.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 - V + V - V \cdot V$

Étape 6.2.2.1.1.2.1.5

Multipliez $V$ par $V$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.2.1.1.2.1.5.1

Déplacez $V$ .

$1 - V + V - (V \cdot V)$

Étape 6.2.2.1.1.2.1.5.2

Multipliez $V$ par $V$ .

$1 - V + V - V^{2}$

Étape 6.2.2.1.1.2.2

Additionnez $- V$ et $V$ .

$1 + 0 - V^{2}$

Étape 6.2.2.1.1.2.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$1 - V^{2}$

Étape 6.2.2.1.1.3

Remettez dans l’ordre $1$ et $- V^{2}$ .

$- V^{2} + 1$

Étape 6.2.2.1.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 1$

Étape 6.2.2.1.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 6.2.2.1.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 6.2.2.1.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.2.2.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.1.4.2.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 6.2.2.1.4.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.2.2.1.4.2.1.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Étape 6.2.2.1.4.2.2

Réécrivez $- 1 \cdot 0$ comme $- 0$ .

$d = - 0$

Étape 6.2.2.1.4.2.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$d = 0$

Étape 6.2.2.1.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 6.2.2.1.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 6.2.2.1.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.1.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.1.5.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$e = 1 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

Étape 6.2.2.1.5.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$e = 1 - \frac{0}{- 4}$

Étape 6.2.2.1.5.2.1.3

Divisez $0$ par $- 4$ .

$e = 1 - 0$

Étape 6.2.2.1.5.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$e = 1 + 0$

Étape 6.2.2.1.5.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$e = 1$

Étape 6.2.2.1.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- {(V + 0)}^{2} + 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- {(V + 0)}^{2} + 1}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.2

Laissez $u = V + 0$ . Puis $d u = d V$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.2.2.2.1

Laissez $u = V + 0$ . Déterminez $\frac{d u}{d V}$ .

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Étape 6.2.2.2.1.1

Différenciez $V + 0$ .

$\frac{d}{d V} [V + 0]$

Étape 6.2.2.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $V + 0$ par rapport à $V$ est $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [0]$ .

$\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [0]$

Étape 6.2.2.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ est $n V^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d V} [0]$

Étape 6.2.2.2.1.4

Comme $0$ est constant par rapport à $V$ , la dérivée de $0$ par rapport à $V$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 6.2.2.2.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 6.2.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.2.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1^{2}}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.2

Remettez dans l’ordre $- u^{2}$ et $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ par rapport à $u$ est $\arcsin (u)$

$\arcsin (u) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $V + 0$ .

$\arcsin (V + 0) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.6

Additionnez $V$ et $0$ .

$\arcsin (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\arcsin (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 6.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\arcsin (V) = \ln (| x |) + C$

Étape 6.3

Prenez l’arc sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $V$ de l’intérieur de l’arc sinus.

$V = \sin (\ln (| x |) + C)$

Étape 7

Remplacez $V$ par $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \sin (\ln (| x |) + C)$

Étape 8

Résolvez $\frac{y}{x} = \sin (\ln (| x |) + C)$ pour $y$ .

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Étape 8.1

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{y}{x} x = \sin (\ln (| x |) + C) x$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x} x = \sin (\ln (| x |) + C) x$

Étape 8.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = \sin (\ln (| x |) + C) x$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\sin (\ln (| x |) + C) x$ .

$y = x \sin (\ln (| x |) + C)$