Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\sqrt{y}$ .

$\sqrt{y} \frac{d y}{d x} = \sqrt{y} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $\sqrt{y}$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{y} \frac{d y}{d x} = \sqrt{y} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{y} \frac{d y}{d x} = \sqrt{x}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\sqrt{y} d y = \sqrt{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \sqrt{y} d y = \int \sqrt{x} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int y^{\frac{1}{2}} d y = \int \sqrt{x} d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $y$ est $\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int \sqrt{x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}) = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $\frac{3}{2} (\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $y^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Associez.

$\frac{3 (2 y^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K)$

Étape 3.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (2 y^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K)$

Étape 3.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{2} = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K)$

Étape 3.2.1.1.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{2} = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K)$

Étape 3.2.1.1.6

Divisez $y^{\frac{3}{2}}$ par $1$ .

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $\frac{3}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.2.1.1.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + K)$

Étape 3.2.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3}{2} K$

Étape 3.2.2.1.1.3

Associez.

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3 (2 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{3}{2} K$

Étape 3.2.2.1.1.4

Associez $\frac{3}{2}$ et $K$ .

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3 (2 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{3 K}{2}$

Étape 3.2.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3 (2 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{3 K}{2}$

Étape 3.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 K}{2}$

Étape 3.2.2.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 K}{2}$

Étape 3.2.2.1.2.4

Divisez $x^{\frac{3}{2}}$ par $1$ .

$y^{\frac{3}{2}} = x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 K}{2}$

Étape 3.3

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{2}{3}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.1

Simplifiez ${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 3.4.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 3.4.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.4.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.4.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.4.1.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.4.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y^{1} = {(x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.4.1.2

Simplifiez

$y = {(x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = {(x^{\frac{3}{2}} + K)}^{\frac{2}{3}}$