Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 4 y^{2} \sec^{2} (2 x)$ et $y (\frac{π}{8}) = 1$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (4 y^{2} \sec^{2} (2 x))$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{1}{y^{2}} (y^{2} \sec^{2} (2 x))$

Étape 1.2.2

Associez $4$ et $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y^{2}} (y^{2} \sec^{2} (2 x))$

Étape 1.2.3

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 1.2.3.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} \sec^{2} (2 x)$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y^{2}} (y^{2} (\sec^{2} (2 x)))$

Étape 1.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y^{2}} (y^{2} \sec^{2} (2 x))$

Étape 1.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 4 \sec^{2} (2 x)$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y^{2}} d y = 4 \sec^{2} (2 x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int 4 \sec^{2} (2 x) d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1.1

Retirez $y^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int 4 \sec^{2} (2 x) d x$

Étape 2.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int 4 \sec^{2} (2 x) d x$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int 4 \sec^{2} (2 x) d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- 2}$ par rapport à $y$ est $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int 4 \sec^{2} (2 x) d x$

Étape 2.2.3

Réécrivez $- y^{- 1} + C_{1}$ comme $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 4 \sec^{2} (2 x) d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 \int \sec^{2} (2 x) d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.3.2.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 2.3.2.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 \int \sec^{2} (u) \frac{1}{2} d u$

Étape 2.3.3

Associez $\sec^{2} (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 \int \frac{\sec^{2} (u)}{2} d u$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) d u)$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{4}{2} \int \sec^{2} (u) d u$

Étape 2.3.5.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 2.3.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2} \int \sec^{2} (u) d u$

Étape 2.3.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \sec^{2} (u) d u$

Étape 2.3.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \sec^{2} (u) d u$

Étape 2.3.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2}{1} \int \sec^{2} (u) d u$

Étape 2.3.5.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int \sec^{2} (u) d u$

Étape 2.3.6

Comme la dérivée de $\tan (u)$ est $\sec^{2} (u)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (u)$ est $\tan (u)$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 (\tan (u) + C_{2})$

Étape 2.3.7

Simplifiez

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \tan (u) + C_{2}$

Étape 2.3.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \tan (2 x) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$- \frac{1}{y} = 2 \tan (2 x) + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y, 1, 1$

Étape 3.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y$

Étape 3.2

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{y} = 2 \tan (2 x) + K$ par $y$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.2.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{y} = 2 \tan (2 x) + K$ par $y$ .

$- \frac{1}{y} y = 2 \tan (2 x) y + K y$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{y}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{y} y = 2 \tan (2 x) y + K y$

Étape 3.2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{y} y = 2 \tan (2 x) y + K y$

Étape 3.2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 = 2 \tan (2 x) y + K y$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 \tan (2 x) y + K y$ .

$- 1 = 2 y \tan (2 x) + K y$

Étape 3.3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $2 y \tan (2 x) + K y = - 1$ .

$2 y \tan (2 x) + K y = - 1$

Étape 3.3.2

Factorisez $y$ à partir de $2 y \tan (2 x) + K y$ .

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Étape 3.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $2 y \tan (2 x)$ .

$y (2 \tan (2 x)) + K y = - 1$

Étape 3.3.2.2

Factorisez $y$ à partir de $K y$ .

$y (2 \tan (2 x)) + y K = - 1$

Étape 3.3.2.3

Factorisez $y$ à partir de $y (2 \tan (2 x)) + y K$ .

$y (2 \tan (2 x) + K) = - 1$

Étape 3.3.3

Divisez chaque terme dans $y (2 \tan (2 x) + K) = - 1$ par $2 \tan (2 x) + K$ et simplifiez.

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Étape 3.3.3.1

Divisez chaque terme dans $y (2 \tan (2 x) + K) = - 1$ par $2 \tan (2 x) + K$ .

$\frac{y (2 \tan (2 x) + K)}{2 \tan (2 x) + K} = \frac{- 1}{2 \tan (2 x) + K}$

Étape 3.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2 \tan (2 x) + K$ .

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Étape 3.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (2 \tan (2 x) + K)}{2 \tan (2 x) + K} = \frac{- 1}{2 \tan (2 x) + K}$

Étape 3.3.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 1}{2 \tan (2 x) + K}$

Étape 3.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1}{2 \tan (2 x) + K}$

Étape 4

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $\frac{π}{8}$ et $y$ par $1$ dans $y = - \frac{1}{2 \tan (2 x) + K}$ .

$1 = - \frac{1}{2 \tan (2 \frac{π}{8}) + K}$

Étape 5

Résolvez $K$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{1}{2 \tan (2 (\frac{π}{8})) + K} = 1$ .

$- \frac{1}{2 \tan (2 (\frac{π}{8})) + K} = 1$

Étape 5.2

Factorisez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$- \frac{1}{2 \tan (2 \frac{π}{2 (4)}) + K} = 1$

Étape 5.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{2 \tan (2 \frac{π}{2 \cdot 4}) + K} = 1$

Étape 5.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{2 \tan (\frac{π}{4}) + K} = 1$

Étape 5.2.2

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 1 + K} = 1$

Étape 5.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$- \frac{1}{2 + K} = 1$

Étape 5.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$2 + K, 1$

Étape 5.3.2

Supprimez les parenthèses.

$2 + K, 1$

Étape 5.3.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$2 + K$

Étape 5.4

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{2 + K} = 1$ par $2 + K$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.4.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{2 + K} = 1$ par $2 + K$ .

$- \frac{1}{2 + K} (2 + K) = 1 (2 + K)$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2 + K$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2 + K}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{2 + K} (2 + K) = 1 (2 + K)$

Étape 5.4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{2 + K} (2 + K) = 1 (2 + K)$

Étape 5.4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 = 1 (2 + K)$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Multipliez $2 + K$ par $1$ .

$- 1 = 2 + K$

Étape 5.5

Résolvez l’équation.

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Étape 5.5.1

Réécrivez l’équation comme $2 + K = - 1$ .

$2 + K = - 1$

Étape 5.5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.5.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$K = - 1 - 2$

Étape 5.5.2.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$K = - 3$

Étape 5.6

Excluez les solutions qui ne rendent pas $1 = - \frac{1}{2 \tan (2 (\frac{π}{8})) + K}$ vrai.

$Aucune solution$