Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d t} = \sin (t) + 1$ , $y (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = (\sin (t) + 1) d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \sin (t) + 1 d t$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \sin (t) + 1 d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int \sin (t) d t + \int d t$

Étape 2.3.2

L’intégrale de $\sin (t)$ par rapport à $t$ est $- \cos (t)$ .

$y + C_{1} = - \cos (t) + C_{2} + \int d t$

Étape 2.3.3

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = - \cos (t) + C_{2} + t + C_{3}$

Étape 2.3.4

Simplifiez

$y + C_{1} = - \cos (t) + t + C_{4}$

Étape 2.3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = t - \cos (t) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = t - \cos (t) + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $t$ par $\frac{π}{3}$ et $y$ par $\frac{1}{2}$ dans $y = t - \cos (t) + K$ .

$\frac{1}{2} = \frac{π}{3} - \cos (\frac{π}{3}) + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{π}{3} - \cos (\frac{π}{3}) + K = \frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{3} - \cos (\frac{π}{3}) + K = \frac{1}{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{3} - \frac{1}{2} + K = \frac{1}{2}$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $\frac{π}{3}$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{1}{2} + K = \frac{1}{2} - \frac{π}{3}$

Étape 4.3.2

Ajoutez $\frac{1}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$K = \frac{1}{2} - \frac{π}{3} + \frac{1}{2}$

Étape 4.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$K = \frac{1 + 1}{2} + \frac{- π}{3}$

Étape 4.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$K = \frac{2}{2} + \frac{- π}{3}$

Étape 4.3.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.5.1

Divisez $2$ par $2$ .

$K = 1 + \frac{- π}{3}$

Étape 4.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$K = 1 - \frac{π}{3}$

Étape 5

Remplacez $K$ par $1 - \frac{π}{3}$ dans $y = t - \cos (t) + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $1 - \frac{π}{3}$ .

$y = t - \cos (t) + 1 - \frac{π}{3}$