Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} - 2 y = 4 - x$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - 2$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - 2 d x}$

Étape 1.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{- 2 x + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- 2 x}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{- 2 x}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 2 x} (- 2 y) = e^{- 2 x} \cdot 4 + e^{- 2 x} (- x)$

Étape 2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x} \cdot 4 + e^{- 2 x} (- x)$

Étape 2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = 4 \cdot e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (- x)$

Étape 2.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = 4 e^{- 2 x} - e^{- 2 x} x$

Étape 2.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = 4 e^{- 2 x} - e^{- 2 x} x$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 y e^{- 2 x} = 4 e^{- 2 x} - x e^{- 2 x}$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] = 4 e^{- 2 x} - x e^{- 2 x}$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] d x = \int 4 e^{- 2 x} - x e^{- 2 x} d x$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$e^{- 2 x} y = \int 4 e^{- 2 x} - x e^{- 2 x} d x$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$e^{- 2 x} y = \int 4 e^{- 2 x} d x + \int - x e^{- 2 x} d x$

Étape 6.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 2 x} y = 4 \int e^{- 2 x} d x + \int - x e^{- 2 x} d x$

Étape 6.3

Laissez $u_{1} = - 2 x$ . Alors $d u_{1} = - 2 d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 6.3.1

Laissez $u_{1} = - 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 6.3.1.1

Différenciez $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 6.3.1.2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Étape 6.3.1.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2$

Étape 6.3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$e^{- 2 x} y = 4 \int e^{u_{1}} \frac{1}{- 2} d u_{1} + \int - x e^{- 2 x} d x$

Étape 6.4

Simplifiez

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Étape 6.4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{- 2 x} y = 4 \int e^{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1} + \int - x e^{- 2 x} d x$

Étape 6.4.2

Associez $e^{u_{1}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 4 \int - \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int - x e^{- 2 x} d x$

Étape 6.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 2 x} y = 4 (- \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1}) + \int - x e^{- 2 x} d x$

Étape 6.6

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int - x e^{- 2 x} d x$

Étape 6.7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 2 x} y = - 4 (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - x e^{- 2 x} d x$

Étape 6.8

Simplifiez

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Étape 6.8.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 4$ .

$e^{- 2 x} y = \frac{- 4}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - x e^{- 2 x} d x$

Étape 6.8.2

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 6.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$e^{- 2 x} y = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - x e^{- 2 x} d x$

Étape 6.8.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.8.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$e^{- 2 x} y = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - x e^{- 2 x} d x$

Étape 6.8.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{- 2 x} y = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - x e^{- 2 x} d x$

Étape 6.8.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{- 2 x} y = \frac{- 2}{1} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - x e^{- 2 x} d x$

Étape 6.8.2.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - x e^{- 2 x} d x$

Étape 6.9

L’intégrale de $e^{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $e^{u_{1}}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) + \int - x e^{- 2 x} d x$

Étape 6.10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - \int x e^{- 2 x} d x$

Étape 6.11

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Étape 6.12

Simplifiez

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Étape 6.12.1

Associez $e^{- 2 x}$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Étape 6.12.2

Associez $x$ et $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Étape 6.12.3

Associez $e^{- 2 x}$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Étape 6.13

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - - \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Étape 6.14

Simplifiez

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Étape 6.14.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Étape 6.14.2

Multipliez $\int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$ par $1$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Étape 6.15

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Étape 6.16

Laissez $u_{2} = - 2 x$ . Alors $d u_{2} = - 2 d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 6.16.1

Laissez $u_{2} = - 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 6.16.1.1

Différenciez $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 6.16.1.2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.16.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Étape 6.16.1.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2$

Étape 6.16.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2})$

Étape 6.17

Simplifiez

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Étape 6.17.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2})$

Étape 6.17.2

Associez $e^{u_{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

Étape 6.18

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}))$

Étape 6.19

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})))$

Étape 6.20

Simplifiez

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Étape 6.20.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Étape 6.20.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Étape 6.21

L’intégrale de $e^{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $e^{u_{2}}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C))$

Étape 6.22

Simplifiez

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Étape 6.22.1

Simplifiez

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{u_{1}} - (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u_{2}}) + C$

Étape 6.22.2

Simplifiez

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Étape 6.22.2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{u_{1}} - (- \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u_{2}}) + C$

Étape 6.22.2.2

Associez $e^{- 2 x}$ et $\frac{x}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{u_{1}} - (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u_{2}}) + C$

Étape 6.22.2.3

Associez $e^{u_{2}}$ et $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{u_{1}} - (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{u_{2}}}{4}) + C$

Étape 6.23

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 6.23.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- 2 x$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} - (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{u_{2}}}{4}) + C$

Étape 6.23.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- 2 x$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} - (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Étape 6.24

Simplifiez

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Étape 6.24.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} - - \frac{e^{- 2 x} x}{2} - - \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$

Étape 6.24.2

Multipliez $- - \frac{e^{- 2 x} x}{2}$ .

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Étape 6.24.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} + 1 \frac{e^{- 2 x} x}{2} - - \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$

Étape 6.24.2.2

Multipliez $\frac{e^{- 2 x} x}{2}$ par $1$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} + \frac{e^{- 2 x} x}{2} - - \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$

Étape 6.24.3

Multipliez $- - \frac{e^{- 2 x}}{4}$ .

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Étape 6.24.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} + \frac{e^{- 2 x} x}{2} + 1 \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$

Étape 6.24.3.2

Multipliez $\frac{e^{- 2 x}}{4}$ par $1$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} + \frac{e^{- 2 x} x}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$

Étape 6.24.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{e^{- 2 x} x}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{4}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} + \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$

Étape 6.25

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} + \frac{1}{2} x e^{- 2 x} + \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} + \frac{1}{2} x e^{- 2 x} + \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$ par $e^{- 2 x}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} + \frac{1}{2} x e^{- 2 x} + \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$ par $e^{- 2 x}$ .

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{- 2 e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{\frac{1}{2} x e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{\frac{1}{4} e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{- 2 x}$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{- 2 e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{\frac{1}{2} x e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{\frac{1}{4} e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 2 e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{\frac{1}{2} x e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{\frac{1}{4} e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- 2 e^{- 2 x} + \frac{1}{2} x e^{- 2 x} + \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 7.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$y = \frac{- 2 e^{- 2 x} + \frac{x}{2} e^{- 2 x} + \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 7.3.2.2

Associez $\frac{x}{2}$ et $e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{- 2 e^{- 2 x} + \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 7.3.2.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{- 2 e^{- 2 x} + \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 7.3.3

Pour écrire $- 2 e^{- 2 x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} - 2 e^{- 2 x} \cdot \frac{4}{4} + \frac{e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 7.3.4

Simplifiez les termes.

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Étape 7.3.4.1

Associez $- 2 e^{- 2 x}$ et $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 e^{- 2 x} \cdot 4}{4} + \frac{e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 7.3.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 e^{- 2 x} \cdot 4 + e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 7.3.4.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.4.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.3.4.3.1.1

Factorisez $e^{- 2 x}$ à partir de $- 2 e^{- 2 x} \cdot 4 + e^{- 2 x}$ .

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Étape 7.3.4.3.1.1.1

Factorisez $e^{- 2 x}$ à partir de $- 2 e^{- 2 x} \cdot 4$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} (- 2 \cdot 4) + e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 7.3.4.3.1.1.2

Multipliez par $1$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} (- 2 \cdot 4) + e^{- 2 x} \cdot 1}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 7.3.4.3.1.1.3

Factorisez $e^{- 2 x}$ à partir de $e^{- 2 x} (- 2 \cdot 4) + e^{- 2 x} \cdot 1$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} (- 2 \cdot 4 + 1)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 7.3.4.3.1.2

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} (- 8 + 1)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 7.3.4.3.1.3

Additionnez $- 8$ et $1$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} \cdot - 7}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 7.3.4.3.2

Déplacez $- 7$ à gauche de $e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 7 \cdot e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 7.3.4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{7 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 7.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.3.5.1

Pour écrire $\frac{x e^{- 2 x}}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{7 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 7.3.5.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.3.5.2.1

Multipliez $\frac{x e^{- 2 x}}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x} \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{7 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 7.3.5.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x} \cdot 2}{4} - \frac{7 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 7.3.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x} \cdot 2 - 7 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 7.3.5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.3.5.4.1

Déplacez $2$ à gauche de $x e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{\frac{2 \cdot (x e^{- 2 x}) - 7 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 7.3.5.4.2

Factorisez $e^{- 2 x}$ à partir de $2 x e^{- 2 x} - 7 e^{- 2 x}$ .

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Étape 7.3.5.4.2.1

Factorisez $e^{- 2 x}$ à partir de $2 x e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x) - 7 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 7.3.5.4.2.2

Factorisez $e^{- 2 x}$ à partir de $- 7 e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x) + e^{- 2 x} \cdot - 7}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 7.3.5.4.2.3

Factorisez $e^{- 2 x}$ à partir de $e^{- 2 x} (2 x) + e^{- 2 x} \cdot - 7$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x - 7)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 7.3.5.5

Pour écrire $C$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x - 7)}{4} + C \cdot \frac{4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Étape 7.3.5.6

Associez $C$ et $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x - 7)}{4} + \frac{C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Étape 7.3.5.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x - 7) + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Étape 7.3.5.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.3.5.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x) + e^{- 2 x} \cdot - 7 + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Étape 7.3.5.8.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{\frac{2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} \cdot - 7 + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Étape 7.3.5.8.3

Déplacez $- 7$ à gauche de $e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{- 2 x} x - 7 \cdot e^{- 2 x} + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Étape 7.3.5.8.4

Déplacez $4$ à gauche de $C$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{- 2 x} x - 7 e^{- 2 x} + 4 C}{4}}{e^{- 2 x}}$

Étape 7.3.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{2 e^{- 2 x} x - 7 e^{- 2 x} + 4 C}{4} \cdot \frac{1}{e^{- 2 x}}$

Étape 7.3.7

Multipliez $\frac{2 e^{- 2 x} x - 7 e^{- 2 x} + 4 C}{4}$ par $\frac{1}{e^{- 2 x}}$ .

$y = \frac{2 e^{- 2 x} x - 7 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Étape 7.3.8

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{2 e^{- 2 x} x - 7 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$ .

$y = \frac{2 x e^{- 2 x} - 7 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$