Calcul infinitésimal Exemples

$(x^{2} + y^{2}) d y = x y d x$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de l’équation différentielle exacte.

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Étape 1.1

Soustrayez $x y d x$ des deux côtés de l’équation.

$(x^{2} + y^{2}) d y - x y d x = 0$

Étape 1.2

Réécrivez.

$- x y d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = - x y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- x y]$

Étape 2.2

Comme $- x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- x y$ par rapport à $y$ est $- x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - x \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - x \cdot 1$

Étape 2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - x$

Étape 3

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x^{2} + y^{2}$ .

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Étape 3.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.4

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0$

Étape 3.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

Étape 4

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- x$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 x$ .

$- x = 2 x$

Étape 4.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$- x = 2 x$ n’est pas une identité.

Étape 5

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 5.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 x$ .

$\frac{2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 5.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- x$ .

$\frac{2 x - - x}{M}$

Étape 5.3

Remplacez $M$ par $- x y$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez $M$ par $- x y$ .

$\frac{2 x - - x}{- x y}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x - - x$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$\frac{x \cdot 2 - - x}{- x y}$

Étape 5.3.2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- - x$ .

$\frac{x \cdot 2 + x (- - 1)}{- x y}$

Étape 5.3.2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 2 + x (- - 1)$ .

$\frac{x (2 - - 1)}{- x y}$

Étape 5.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{x (2 + 1)}{- x y}$

Étape 5.3.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{x \cdot 3}{- x y}$

Étape 5.3.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot 3}{- x y}$

Étape 5.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{- 1 y}$

Étape 5.3.4

Remplacez $M$ par $- x y$ .

$- \frac{3}{y}$

Étape 5.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

Étape 6

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ .

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Étape 6.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

Étape 6.2

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

Étape 6.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

Étape 6.4

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

Étape 6.5

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

Étape 6.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.6.1

Simplifiez $- 3 \ln (| y |)$ en déplaçant $- 3$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

Étape 6.6.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

Étape 6.6.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

Étape 7

Multipliez les deux côtés de $- x y d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{y^{3}}$ .

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Étape 7.1

Multipliez $- x y$ par $\frac{1}{y^{3}}$ .

$- x y \frac{1}{y^{3}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 7.2.1

Factorisez $y$ à partir de $- x y$ .

$y (- x) \frac{1}{y^{3}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Étape 7.2.2

Factorisez $y$ à partir de $y^{3}$ .

$y (- x) \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Étape 7.2.3

Annulez le facteur commun.

$y (- x) \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Étape 7.2.4

Réécrivez l’expression.

$- x \frac{1}{y^{2}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Étape 7.3

Associez $\frac{1}{y^{2}}$ et $x$ .

$- \frac{x}{y^{2}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Étape 7.4

Multipliez $x^{2} + y^{2}$ par $\frac{1}{y^{3}}$ .

$- \frac{x}{y^{2}} d x + (x^{2} + y^{2}) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Étape 7.5

Multipliez $x^{2} + y^{2}$ par $\frac{1}{y^{3}}$ .

$- \frac{x}{y^{2}} d x + \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}} d y = 0$

Étape 8

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{x}{y^{2}} d x$

Étape 9

Intégrez $M (x, y) = - \frac{x}{y^{2}}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 9.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = - \int \frac{x}{y^{2}} d x$

Étape 9.2

Comme $\frac{1}{y^{2}}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{y^{2}}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = - (\frac{1}{y^{2}} \int x d x)$

Étape 9.3

Supprimez les parenthèses.

$f (x, y) = - \frac{1}{y^{2}} \int x d x$

Étape 9.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{y^{2}} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 9.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.5.1

Réécrivez $- \frac{1}{y^{2}} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ comme $- \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 9.5.2

Simplifiez

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Étape 9.5.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2 y^{2}} x^{2} + C$

Étape 9.5.2.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{2 y^{2}}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + C$

Étape 10

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + g (y)$

Étape 11

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Étape 12

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 12.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Étape 12.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2 y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2 y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Étape 12.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2 y^{2}}]$ .

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Étape 12.3.1

Comme $- \frac{x^{2}}{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- \frac{x^{2}}{2 y^{2}}$ par rapport à $y$ est $- \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$- \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Étape 12.3.2

Réécrivez $\frac{1}{y^{2}}$ comme ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Étape 12.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{- 1}$ et $g (y) = y^{2}$ .

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Étape 12.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y^{2}$ .

$- \frac{x^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Étape 12.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- \frac{x^{2}}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Étape 12.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y^{2}$ .

$- \frac{x^{2}}{2} (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Étape 12.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{x^{2}}{2} (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Étape 12.3.5

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 12.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{x^{2}}{2} (- y^{2 \cdot - 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Étape 12.3.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- \frac{x^{2}}{2} (- y^{- 4} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Étape 12.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{x^{2}}{2} (- 2 y^{- 4} y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Étape 12.3.7

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$- \frac{x^{2}}{2} (- 2 (y^{1} y^{- 4})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Étape 12.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{x^{2}}{2} (- 2 y^{1 - 4}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Étape 12.3.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$- \frac{x^{2}}{2} (- 2 y^{- 3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Étape 12.3.10

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$2 \frac{x^{2}}{2} y^{- 3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Étape 12.3.11

Associez $2$ et $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} y^{- 3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Étape 12.3.12

Associez $\frac{2 x^{2}}{2}$ et $y^{- 3}$ .

$\frac{2 x^{2} y^{- 3}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Étape 12.3.13

Placez $y^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Étape 12.3.14

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.3.14.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{2}}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Étape 12.3.14.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Étape 12.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Étape 12.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{2}}{y^{3}} = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Étape 13

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 13.1

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 13.1.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 13.1.1.1

Soustrayez $\frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{2}}{y^{3}} - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}} = 0$

Étape 13.1.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{2} - (x^{2} + y^{2})}{y^{3}} = 0$

Étape 13.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{2} - x^{2} - y^{2}}{y^{3}} = 0$

Étape 13.1.1.4

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 - y^{2}}{y^{3}} = 0$

Étape 13.1.1.5

Soustrayez $y^{2}$ de $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y^{2}}{y^{3}} = 0$

Étape 13.1.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1.6.1

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y^{3}$ .

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Étape 13.1.1.6.1.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $- y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot - 1}{y^{3}} = 0$

Étape 13.1.1.6.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.1.1.6.1.2.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot - 1}{y^{2} y} = 0$

Étape 13.1.1.6.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot - 1}{y^{2} y} = 0$

Étape 13.1.1.6.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 1}{y} = 0$

Étape 13.1.1.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d g}{d y} - \frac{1}{y} = 0$

Étape 13.1.2

Ajoutez $\frac{1}{y}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y}$

Étape 14

Déterminez la primitive de $\frac{1}{y}$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 14.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{1}{y} d y$

Étape 14.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{1}{y} d y$

Étape 14.3

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$g (y) = \ln (| y |) + C$

Étape 15

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \ln (| y |) + C$