Calcul infinitésimal Exemples

$(x^{3} - y^{3}) d x + x y^{2} d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = x^{3} - y^{3}$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{3} - y^{3}]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - y^{3}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Étape 1.2.2

Comme $x^{3}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x^{3}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- y^{3}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y^{3}$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - (3 y^{2})$

Étape 1.3.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 y^{2}$

Étape 1.4

Soustrayez $3 y^{2}$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3 y^{2}$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x y^{2}$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Étape 2.2

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x y^{2}$ par rapport à $x$ est $y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} \cdot 1$

Étape 2.4

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2}$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 3 y^{2}$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $y^{2}$ .

$- 3 y^{2} = y^{2}$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$- 3 y^{2} = y^{2}$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 3 y^{2}$ .

$\frac{- 3 y^{2} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $y^{2}$ .

$\frac{- 3 y^{2} - y^{2}}{N}$

Étape 4.3

Remplacez $N$ par $x y^{2}$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $N$ par $x y^{2}$ .

$\frac{- 3 y^{2} - y^{2}}{x y^{2}}$

Étape 4.3.2

Soustrayez $y^{2}$ de $- 3 y^{2}$ .

$\frac{- 4 y^{2}}{x y^{2}}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 4.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 y^{2}}{x y^{2}}$

Étape 4.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 4}{x}$

Étape 4.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{x}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{4}{x} d x}$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

Étape 5.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

Étape 5.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 5.4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 5.5

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| x |)} + C$

Étape 5.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.1

Simplifiez $- 4 \ln (| x |)$ en déplaçant $- 4$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 4})} + C$

Étape 5.6.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 4} + C$

Étape 5.6.3

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{- 4}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$μ (x, y) = x^{- 4} + C$

Étape 5.6.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{4}} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $(x^{3} - y^{3}) d x + x y^{2} d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{x^{4}}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $x^{3} - y^{3}$ par $\frac{1}{x^{4}}$ .

$(x^{3} - y^{3}) \frac{1}{x^{4}} d x + x y^{2} d y = 0$

Étape 6.2

Multipliez $x^{3} - y^{3}$ par $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{x^{3} - y^{3}}{x^{4}} d x + x y^{2} d y = 0$

Étape 6.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = y$ .

$\frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}{x^{4}} d x + x y^{2} d y = 0$

Étape 6.4

Multipliez $x y^{2}$ par $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}{x^{4}} d x + x y^{2} \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Étape 6.5

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x y^{2}$ .

$\frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}{x^{4}} d x + x (y^{2}) \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Étape 6.5.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}{x^{4}} d x + x (y^{2}) \frac{1}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

Étape 6.5.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}{x^{4}} d x + x y^{2} \frac{1}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

Étape 6.5.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}{x^{4}} d x + y^{2} \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Étape 6.6

Associez $y^{2}$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}{x^{4}} d x + \frac{y^{2}}{x^{3}} d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y^{2}}{x^{3}} d y$

Étape 8

Intégrez $N (x, y) = \frac{y^{2}}{x^{3}}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Comme $\frac{1}{x^{3}}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{1}{x^{3}}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} \int y^{2} d y$

Étape 8.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Étape 8.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.3.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ comme $\frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{1}{3} y^{3} + C$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{1}{3} y^{3} + C$

Étape 8.3.2

Simplifiez

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Étape 8.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{x^{3}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3} \cdot 3} y^{3} + C$

Étape 8.3.2.2

Déplacez $3$ à gauche de $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3 \cdot x^{3}} y^{3} + C$

Étape 8.3.2.3

Multipliez $3$ par $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3 x^{3}} y^{3} + C$

Étape 8.3.2.4

Associez $\frac{1}{3 x^{3}}$ et $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3 x^{3}} + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3 x^{3}} + g (x)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}{x^{4}}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3 x^{3}} + g (x)] = \frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}{x^{4}}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{y^{3}}{3 x^{3}} + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}{x^{4}}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3 x^{3}}]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $\frac{y^{3}}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{y^{3}}{3 x^{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}{x^{4}}$

Étape 11.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}{x^{4}}$

Étape 11.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 11.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3}$ .

$\frac{y^{3}}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}{x^{4}}$

Étape 11.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{y^{3}}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}{x^{4}}$

Étape 11.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3}$ .

$\frac{y^{3}}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}{x^{4}}$

Étape 11.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{y^{3}}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}{x^{4}}$

Étape 11.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Étape 11.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y^{3}}{3} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}{x^{4}}$

Étape 11.3.5.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{y^{3}}{3} (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}{x^{4}}$

Étape 11.3.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{y^{3}}{3} (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}{x^{4}}$

Étape 11.3.7

Multipliez $x^{- 6}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.3.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{y^{3}}{3} (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}{x^{4}}$

Étape 11.3.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y^{3}}{3} (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}{x^{4}}$

Étape 11.3.7.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$\frac{y^{3}}{3} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}{x^{4}}$

Étape 11.3.8

Associez $- 3$ et $\frac{y^{3}}{3}$ .

$\frac{- 3 y^{3}}{3} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}{x^{4}}$

Étape 11.3.9

Associez $\frac{- 3 y^{3}}{3}$ et $x^{- 4}$ .

$\frac{- 3 y^{3} x^{- 4}}{3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}{x^{4}}$

Étape 11.3.10

Placez $x^{- 4}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 3 y^{3}}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}{x^{4}}$

Étape 11.3.11

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

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Étape 11.3.11.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 y^{3}$ .

$\frac{3 (- y^{3})}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}{x^{4}}$

Étape 11.3.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.3.11.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{4}$ .

$\frac{3 (- y^{3})}{3 (x^{4})} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}{x^{4}}$

Étape 11.3.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (- y^{3})}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}{x^{4}}$

Étape 11.3.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- y^{3}}{x^{4}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}{x^{4}}$

Étape 11.3.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{y^{3}}{x^{4}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}{x^{4}}$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$- \frac{y^{3}}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}{x^{4}}$

Étape 11.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{3}}{x^{4}} = \frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}{x^{4}}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 12.1.1.1

Soustrayez $\frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}{x^{4}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{3}}{x^{4}} - \frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}{x^{4}} = 0$

Étape 12.1.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} - (x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}{x^{4}} = 0$

Étape 12.1.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + (- x - - y) (x^{2} + x y + y^{2})}{x^{4}} = 0$

Étape 12.1.1.3.2

Multipliez $- - y$ .

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Étape 12.1.1.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + (- x + 1 y) (x^{2} + x y + y^{2})}{x^{4}} = 0$

Étape 12.1.1.3.2.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + (- x + y) (x^{2} + x y + y^{2})}{x^{4}} = 0$

Étape 12.1.1.3.3

Développez $(- x + y) (x^{2} + x y + y^{2})$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} - x \cdot x^{2} - x (x y) - x y^{2} + y x^{2} + y (x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Étape 12.1.1.3.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1.3.4.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.1.1.3.4.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} - (x^{2} x) - x (x y) - x y^{2} + y x^{2} + y (x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Étape 12.1.1.3.4.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 12.1.1.3.4.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} - (x^{2} x^{1}) - x (x y) - x y^{2} + y x^{2} + y (x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Étape 12.1.1.3.4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} - x^{2 + 1} - x (x y) - x y^{2} + y x^{2} + y (x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Étape 12.1.1.3.4.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} - x^{3} - x (x y) - x y^{2} + y x^{2} + y (x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Étape 12.1.1.3.4.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.1.1.3.4.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} - x^{3} - (x \cdot x) y - x y^{2} + y x^{2} + y (x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Étape 12.1.1.3.4.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} - x^{3} - x^{2} y - x y^{2} + y x^{2} + y (x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Étape 12.1.1.3.4.3

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.1.1.3.4.3.1

Déplacez $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} - x^{3} - x^{2} y - x y^{2} + y x^{2} + y \cdot y x + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Étape 12.1.1.3.4.3.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} - x^{3} - x^{2} y - x y^{2} + y x^{2} + y^{2} x + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Étape 12.1.1.3.4.4

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.1.1.3.4.4.1

Multipliez $y$ par $y^{2}$ .

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Étape 12.1.1.3.4.4.1.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} - x^{3} - x^{2} y - x y^{2} + y x^{2} + y^{2} x + y^{1} y^{2}}{x^{4}} = 0$

Étape 12.1.1.3.4.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} - x^{3} - x^{2} y - x y^{2} + y x^{2} + y^{2} x + y^{1 + 2}}{x^{4}} = 0$

Étape 12.1.1.3.4.4.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} - x^{3} - x^{2} y - x y^{2} + y x^{2} + y^{2} x + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Étape 12.1.1.3.5

Associez les termes opposés dans $- x^{3} - x^{2} y - x y^{2} + y x^{2} + y^{2} x + y^{3}$ .

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Étape 12.1.1.3.5.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $- x^{2} y$ et $y x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} - x^{3} - x^{2} y - x y^{2} + x^{2} y + y^{2} x + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Étape 12.1.1.3.5.2

Additionnez $- x^{2} y$ et $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} - x^{3} - x y^{2} + 0 + y^{2} x + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Étape 12.1.1.3.5.3

Additionnez $- x^{3} - x y^{2}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} - x^{3} - x y^{2} + y^{2} x + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Étape 12.1.1.3.5.4

Réorganisez les facteurs dans les termes $- x y^{2}$ et $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} - x^{3} - y^{2} x + y^{2} x + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Étape 12.1.1.3.5.5

Additionnez $- y^{2} x$ et $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} - x^{3} + 0 + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Étape 12.1.1.3.5.6

Additionnez $- x^{3}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} - x^{3} + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Étape 12.1.1.4

Associez les termes opposés dans $- y^{3} - x^{3} + y^{3}$ .

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Étape 12.1.1.4.1

Additionnez $- y^{3}$ et $y^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{3} + 0}{x^{4}} = 0$

Étape 12.1.1.4.2

Additionnez $- x^{3}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{3}}{x^{4}} = 0$

Étape 12.1.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1.5.1

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x^{4}$ .

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Étape 12.1.1.5.1.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $- x^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{3} \cdot - 1}{x^{4}} = 0$

Étape 12.1.1.5.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.1.1.5.1.2.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{3} \cdot - 1}{x^{3} x} = 0$

Étape 12.1.1.5.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{3} \cdot - 1}{x^{3} x} = 0$

Étape 12.1.1.5.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x} = 0$

Étape 12.1.1.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{x} = 0$

Étape 12.1.2

Ajoutez $\frac{1}{x}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 13

Déterminez la primitive de $\frac{1}{x}$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 13.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$g (x) = \ln (| x |) + C$

Étape 14

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = \frac{y^{3}}{3 x^{3}} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3 x^{3}} + \ln (| x |) + C$