Calcul infinitésimal Exemples

$2 \frac{d y}{d x} = \frac{7 x^{3}}{y}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$y (2 \frac{d y}{d x}) = y \frac{7 x^{3}}{y}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y (2 \frac{d y}{d x}) = y \frac{7 x^{3}}{y}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y (2 \frac{d y}{d x}) = 7 x^{3}$

Étape 1.3

Supprimez les parenthèses inutiles.

$y \cdot 2 \frac{d y}{d x} = 7 x^{3}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$y \cdot 2 d y = 7 x^{3} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y \cdot 2 d y = \int 7 x^{3} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$\int 2 y d y = \int 7 x^{3} d x$

Étape 2.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int y d y = \int 7 x^{3} d x$

Étape 2.2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int 7 x^{3} d x$

Étape 2.2.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.2.4.1

Réécrivez $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ comme $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int 7 x^{3} d x$

Étape 2.2.4.2

Simplifiez

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Étape 2.2.4.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int 7 x^{3} d x$

Étape 2.2.4.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int 7 x^{3} d x$

Étape 2.2.4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 y^{2} + C_{1} = \int 7 x^{3} d x$

Étape 2.2.4.2.3

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} + C_{1} = \int 7 x^{3} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , placez $7$ en dehors de l’intégrale.

$y^{2} + C_{1} = 7 \int x^{3} d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y^{2} + C_{1} = 7 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $7 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ comme $7 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$ .

$y^{2} + C_{1} = 7 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2

Associez $7$ et $\frac{1}{4}$ .

$y^{2} + C_{1} = \frac{7}{4} x^{4} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y^{2} = \frac{7}{4} x^{4} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\frac{7}{4} x^{4} + K}$

Étape 3.2

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{7}{4} x^{4} + K}$ .

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{7}{4}$ et $x^{4}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{7 x^{4}}{4} + K}$

Étape 3.2.2

Pour écrire $K$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{7 x^{4}}{4} + K \cdot \frac{4}{4}}$

Étape 3.2.3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.3.1

Associez $K$ et $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{7 x^{4}}{4} + \frac{K \cdot 4}{4}}$

Étape 3.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{7 x^{4} + K \cdot 4}{4}}$

Étape 3.2.4

Déplacez $4$ à gauche de $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{7 x^{4} + 4 K}{4}}$

Étape 3.2.5

Réécrivez $\frac{7 x^{4} + 4 K}{4}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2} (7 x^{4} + 4 K)$ .

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Étape 3.2.5.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $7 x^{4} + 4 K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (7 x^{4} + 4 K)}{4}}$

Étape 3.2.5.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (7 x^{4} + 4 K)}{2^{2} \cdot 1}}$

Étape 3.2.5.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} (7 x^{4} + 4 K)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (7 x^{4} + 4 K)}$

Étape 3.2.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{7 x^{4} + 4 K}$

Étape 3.2.7

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{7 x^{4} + 4 K}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

Étape 3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

Étape 3.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

Étape 3.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\sqrt{7 x^{4} + K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{7 x^{4} + K}}{2}$