Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{9 y^{2} - 4}$ , $y (2) = 0$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $9 y^{2} - 4$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = (9 y^{2} - 4) \frac{6 x^{2}}{9 y^{2} - 4}$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.1.1

Réécrivez $9 y^{2}$ comme ${(3 y)}^{2}$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = (9 y^{2} - 4) \frac{6 x^{2}}{{(3 y)}^{2} - 4}$

Étape 1.2.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = (9 y^{2} - 4) \frac{6 x^{2}}{{(3 y)}^{2} - 2^{2}}$

Étape 1.2.1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3 y$ et $b = 2$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = (9 y^{2} - 4) \frac{6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Étape 1.2.2

Multipliez $9 y^{2} - 4$ par $\frac{6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(9 y^{2} - 4) (6 x^{2})}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Étape 1.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.3.1

Réécrivez $9 y^{2}$ comme ${(3 y)}^{2}$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{({(3 y)}^{2} - 4) \cdot 6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Étape 1.2.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{({(3 y)}^{2} - 2^{2}) \cdot 6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Étape 1.2.3.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3 y$ et $b = 2$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(3 y + 2) (3 y - 2) \cdot 6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Étape 1.2.4

Annulez le facteur commun de $3 y + 2$ .

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Étape 1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(3 y + 2) (3 y - 2) \cdot 6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Étape 1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(3 y - 2) \cdot 6 x^{2}}{3 y - 2}$

Étape 1.2.5

Annulez le facteur commun de $3 y - 2$ .

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Étape 1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(3 y - 2) \cdot 6 x^{2}}{3 y - 2}$

Étape 1.2.5.2

Divisez $6 x^{2}$ par $1$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = 6 x^{2}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$(9 y^{2} - 4) d y = 6 x^{2} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int 9 y^{2} - 4 d y = \int 6 x^{2} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 9 y^{2} d y + \int - 4 d y = \int 6 x^{2} d x$

Étape 2.2.2

Comme $9$ est constant par rapport à $y$ , placez $9$ en dehors de l’intégrale.

$9 \int y^{2} d y + \int - 4 d y = \int 6 x^{2} d x$

Étape 2.2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$9 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) + \int - 4 d y = \int 6 x^{2} d x$

Étape 2.2.4

Appliquez la règle de la constante.

$9 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) - 4 y + C_{2} = \int 6 x^{2} d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

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Étape 2.2.5.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$9 (\frac{y^{3}}{3} + C_{1}) - 4 y + C_{2} = \int 6 x^{2} d x$

Étape 2.2.5.2

Simplifiez

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \int 6 x^{2} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = 6 \int x^{2} d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4})$ comme $6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$ .

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.3.2.1

Associez $6$ et $\frac{1}{3}$ .

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \frac{6}{3} x^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 2.3.3.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.3.2.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \frac{2}{1} x^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.3.2.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = 2 x^{3} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$3 y^{3} - 4 y = 2 x^{3} + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $2$ et $y$ par $0$ dans $3 y^{3} - 4 y = 2 x^{3} + K$ .

$3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0 = 2 \cdot 2^{3} + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $2 \cdot 2^{3} + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$ .

$2 \cdot 2^{3} + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Multipliez $2$ par $2^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $2$ par $2^{3}$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$2^{1} \cdot 2^{3} + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$

Étape 4.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2^{1 + 3} + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$

Étape 4.2.1.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$2^{4} + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$

Étape 4.2.2

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$16 + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$

Étape 4.3

Simplifiez $3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$ .

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Étape 4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$16 + K = 3 \cdot 0 - 4 \cdot 0$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$16 + K = 0 - 4 \cdot 0$

Étape 4.3.1.3

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$16 + K = 0 + 0$

Étape 4.3.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$16 + K = 0$

Étape 4.4

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$K = - 16$

Étape 5

Remplacez $K$ par $- 16$ dans $3 y^{3} - 4 y = 2 x^{3} + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $- 16$ .

$3 y^{3} - 4 y = 2 x^{3} - 16$