Calcul infinitésimal Exemples

$(4 t e^{2 x}) d y = y e^{2 x} d x$

Étape 1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{e^{2 x} y}$ .

$\frac{1}{e^{2 x} y} (4 t e^{2 x}) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 \frac{1}{e^{2 x} y} (t e^{2 x}) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Étape 2.2

Associez $4$ et $\frac{1}{e^{2 x} y}$ .

$\frac{4}{e^{2 x} y} (t e^{2 x}) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Étape 2.3

Annulez le facteur commun de $e^{2 x}$ .

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Étape 2.3.1

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $e^{2 x} y$ .

$\frac{4}{e^{2 x} (y)} (t e^{2 x}) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Étape 2.3.2

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $t e^{2 x}$ .

$\frac{4}{e^{2 x} (y)} (e^{2 x} t) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Étape 2.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{e^{2 x} y} (e^{2 x} t) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Étape 2.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{y} t d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Étape 2.4

Associez $\frac{4}{y}$ et $t$ .

$\frac{4 t}{y} d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Étape 2.5

Annulez le facteur commun de $y e^{2 x}$ .

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Étape 2.5.1

Factorisez $y e^{2 x}$ à partir de $e^{2 x} y$ .

$\frac{4 t}{y} d y = \frac{1}{y e^{2 x} (1)} (y e^{2 x}) d x$

Étape 2.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 t}{y} d y = \frac{1}{y e^{2 x} \cdot 1} (y e^{2 x}) d x$

Étape 2.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 t}{y} d y = 1 d x$

Étape 3

Intégrez les deux côtés.

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Étape 3.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{4 t}{y} d y = \int d x$

Étape 3.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Comme $4 t$ est constant par rapport à $y$ , placez $4 t$ en dehors de l’intégrale.

$4 t \int \frac{1}{y} d y = \int d x$

Étape 3.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$4 t (\ln (| y |) + C_{1}) = \int d x$

Étape 3.2.3

Simplifiez

$4 t \ln (| y |) + C_{1} = \int d x$

Étape 3.3

Appliquez la règle de la constante.

$4 t \ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2}$

Étape 3.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$4 t \ln (| y |) = x + C$

Étape 4

Résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $4 t \ln (| y |) = x + C$ par $4 t$ et simplifiez.

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Étape 4.1.1

Divisez chaque terme dans $4 t \ln (| y |) = x + C$ par $4 t$ .

$\frac{4 t \ln (| y |)}{4 t} = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 t \ln (| y |)}{4 t} = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$

Étape 4.1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{t \ln (| y |)}{t} = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$

Étape 4.1.2.2

Annulez le facteur commun de $t$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{t \ln (| y |)}{t} = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$

Étape 4.1.2.2.2

Divisez $\ln (| y |)$ par $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$

Étape 4.2

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}}$

Étape 4.3

Réécrivez $\ln (| y |) = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}} = | y |$

Étape 4.4

Résolvez $y$ .

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Étape 4.4.1

Réécrivez l’équation comme $| y | = e^{\frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}}$ .

$| y | = e^{\frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}}$

Étape 4.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}}$