Calcul infinitésimal Exemples

$(2 x \sin (y) + y^{3} e^{x}) d x + (x^{2} \cos (y) + 3 y^{2} e^{x}) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 2 x \sin (y) + y^{3} e^{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x \sin (y) + y^{3} e^{x}]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x \sin (y) + y^{3} e^{x}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 x \sin (y)] + \frac{d}{d y} [y^{3} e^{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x \sin (y)] + \frac{d}{d y} [y^{3} e^{x}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 x \sin (y)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Comme $2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x \sin (y)$ par rapport à $y$ est $2 x \frac{d}{d y} [\sin (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [y^{3} e^{x}]$

Étape 1.3.2

La dérivée de $\sin (y)$ par rapport à $y$ est $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cos (y) + \frac{d}{d y} [y^{3} e^{x}]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [y^{3} e^{x}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Comme $e^{x}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $y^{3} e^{x}$ par rapport à $y$ est $e^{x} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cos (y) + e^{x} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cos (y) + e^{x} (3 y^{2})$

Étape 1.4.3

Déplacez $3$ à gauche de $e^{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cos (y) + 3 e^{x} y^{2}$

Étape 1.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 x \cos (y) + 3 e^{x} y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cos (y) + 3 y^{2} e^{x}$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x^{2} \cos (y) + 3 y^{2} e^{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (y) + 3 y^{2} e^{x}]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} \cos (y) + 3 y^{2} e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (y)] + \frac{d}{d x} [3 y^{2} e^{x}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (y)] + \frac{d}{d x} [3 y^{2} e^{x}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (y)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $\cos (y)$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x^{2} \cos (y)$ par rapport à $x$ est $\cos (y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2} e^{x}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) (2 x) + \frac{d}{d x} [3 y^{2} e^{x}]$

Étape 2.3.3

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (y)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cos (y) x + \frac{d}{d x} [3 y^{2} e^{x}]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 y^{2} e^{x}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Comme $3 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 y^{2} e^{x}$ par rapport à $x$ est $3 y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cos (y) x + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cos (y) x + 3 y^{2} e^{x}$

Étape 2.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x \cos (y) + 3 e^{x} y^{2}$

Étape 2.5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 x \cos (y) + 3 e^{x} y^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x \cos (y) + 3 y^{2} e^{x}$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 x \cos (y) + 3 y^{2} e^{x}$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 x \cos (y) + 3 y^{2} e^{x}$ .

$2 x \cos (y) + 3 y^{2} e^{x} = 2 x \cos (y) + 3 y^{2} e^{x}$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$2 x \cos (y) + 3 y^{2} e^{x} = 2 x \cos (y) + 3 y^{2} e^{x}$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} \cos (y) + 3 y^{2} e^{x} d y$

Étape 5

Intégrez $N (x, y) = x^{2} \cos (y) + 3 y^{2} e^{x}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int x^{2} \cos (y) d y + \int 3 y^{2} e^{x} d y$

Étape 5.2

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , placez $x^{2}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = x^{2} \int \cos (y) d y + \int 3 y^{2} e^{x} d y$

Étape 5.3

L’intégrale de $\cos (y)$ par rapport à $y$ est $\sin (y)$ .

$f (x, y) = x^{2} (\sin (y) + C) + \int 3 y^{2} e^{x} d y$

Étape 5.4

Comme $3 e^{x}$ est constant par rapport à $y$ , placez $3 e^{x}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = x^{2} (\sin (y) + C) + 3 e^{x} \int y^{2} d y$

Étape 5.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = x^{2} (\sin (y) + C) + 3 e^{x} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Étape 5.6

Simplifiez

$f (x, y) = x^{2} \sin (y) + 3 \cdot \frac{1}{3} e^{x} y^{3} + C$

Étape 5.7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.1

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = x^{2} \sin (y) + \frac{3}{3} e^{x} y^{3} + C$

Étape 5.7.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = x^{2} \sin (y) + \frac{3}{3} e^{x} y^{3} + C$

Étape 5.7.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = x^{2} \sin (y) + 1 e^{x} y^{3} + C$

Étape 5.7.3

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$f (x, y) = x^{2} \sin (y) + e^{x} y^{3} + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} \sin (y) + e^{x} y^{3} + g (x)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x \sin (y) + y^{3} e^{x}$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (y) + e^{x} y^{3} + g (x)] = 2 x \sin (y) + y^{3} e^{x}$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} \sin (y) + e^{x} y^{3} + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (y)] + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (y)] + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x \sin (y) + y^{3} e^{x}$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (y)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Comme $\sin (y)$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x^{2} \sin (y)$ par rapport à $x$ est $\sin (y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\sin (y) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x \sin (y) + y^{3} e^{x}$

Étape 8.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\sin (y) (2 x) + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x \sin (y) + y^{3} e^{x}$

Étape 8.3.3

Déplacez $2$ à gauche de $\sin (y)$ .

$2 \sin (y) x + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x \sin (y) + y^{3} e^{x}$

Étape 8.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{x} y^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.1

Comme $y^{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $e^{x} y^{3}$ par rapport à $x$ est $y^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$2 \sin (y) x + y^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x \sin (y) + y^{3} e^{x}$

Étape 8.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$2 \sin (y) x + y^{3} e^{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x \sin (y) + y^{3} e^{x}$

Étape 8.5

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$2 \sin (y) x + y^{3} e^{x} + \frac{d g}{d x} = 2 x \sin (y) + y^{3} e^{x}$

Étape 8.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.6.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + 2 x \sin (y) + e^{x} y^{3} = 2 x \sin (y) + y^{3} e^{x}$

Étape 8.6.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{d g}{d x} + 2 x \sin (y) + e^{x} y^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 x \sin (y) + y^{3} e^{x} = 2 x \sin (y) + y^{3} e^{x}$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

Soustrayez $2 x \sin (y)$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} + y^{3} e^{x} = 2 x \sin (y) + y^{3} e^{x} - 2 x \sin (y)$

Étape 9.1.2

Soustrayez $y^{3} e^{x}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = 2 x \sin (y) + y^{3} e^{x} - 2 x \sin (y) - y^{3} e^{x}$

Étape 9.1.3

Associez les termes opposés dans $2 x \sin (y) + y^{3} e^{x} - 2 x \sin (y) - y^{3} e^{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.3.1

Soustrayez $2 x \sin (y)$ de $2 x \sin (y)$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{3} e^{x} + 0 - y^{3} e^{x}$

Étape 9.1.3.2

Additionnez $y^{3} e^{x}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{3} e^{x} - y^{3} e^{x}$

Étape 9.1.3.3

Soustrayez $y^{3} e^{x}$ de $y^{3} e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Étape 10

Déterminez la primitive de $0$ afin de déterminer $g (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Étape 10.3

L’intégrale de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Étape 10.4

Additionnez $0$ et $C$ .

$g (x) = C$

Étape 11

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = x^{2} \sin (y) + e^{x} y^{3} + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} \sin (y) + e^{x} y^{3} + C$

Étape 12

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $f (x, y) = x^{2} \sin (y) + e^{x} y^{3} + C$ .

$f (x, y) = x^{2} \sin (y) + y^{3} e^{x} + C$