Calcul infinitésimal Exemples

$y (3 + 2 x y^{2}) d x + 3 (x^{2} y^{2} + x - 1) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = y (3 + 2 x y^{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (3 + 2 x y^{2})]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = y$ et $g (y) = 3 + 2 x y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [3 + 2 x y^{2}] + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 + 2 x y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [2 x y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [2 x y^{2}]) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.2

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [2 x y^{2}]) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.4

Comme $2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x y^{2}$ par rapport à $y$ est $2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (2 x (2 y)) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (4 x y) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.4

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x (y^{1} y) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.5

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x (y^{1} y^{1}) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{1 + 1} + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{2} + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{2} + (3 + 2 x y^{2}) \cdot 1$

Étape 1.9

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.9.1

Multipliez $3 + 2 x y^{2}$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{2} + 3 + 2 x y^{2}$

Étape 1.9.2

Additionnez $4 x y^{2}$ et $2 x y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} + 3$

Étape 1.9.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y^{2} x + 3$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 (x^{2} y^{2} + x - 1)]$

Étape 2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2} + x - 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2} + x - 1]$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} y^{2} + x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 2.4

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x^{2} y^{2}$ par rapport à $x$ est $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 2.6

Déplacez $2$ à gauche de $y^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 \cdot y^{2} x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 y^{2} x + 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 2.8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 y^{2} x + 1 + 0)$

Étape 2.9

Additionnez $2 y^{2} x + 1$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 y^{2} x + 1)$

Étape 2.10

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 y^{2} x) + 3 \cdot 1$

Étape 2.10.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.10.2.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 (y^{2} x) + 3 \cdot 1$

Étape 2.10.2.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x + 3$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $6 y^{2} x + 3$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $6 y^{2} x + 3$ .

$6 y^{2} x + 3 = 6 y^{2} x + 3$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$6 y^{2} x + 3 = 6 y^{2} x + 3$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y (3 + 2 x y^{2}) d x$

Étape 5

Intégrez $M (x, y) = y (3 + 2 x y^{2})$ pour déterminer $f (x, y)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , placez $y$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = y \int 3 + 2 x y^{2} d x$

Étape 5.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = y (\int 3 d x + \int 2 x y^{2} d x)$

Étape 5.3

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = y (3 x + C + \int 2 x y^{2} d x)$

Étape 5.4

Comme $2 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $2 y^{2}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = y (3 x + C + 2 y^{2} \int x d x)$

Étape 5.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = y (3 x + C + 2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

Étape 5.6

Simplifiez

$f (x, y) = y (3 x + y^{2} x^{2}) + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = y (3 x + y^{2} x^{2}) + g (y)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [y (3 x + y^{2} x^{2}) + g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y (3 x + y^{2} x^{2}) + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y (3 x + y^{2} x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y (3 x + y^{2} x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [y (3 x + y^{2} x^{2})]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = y$ et $g (y) = 3 x + y^{2} x^{2}$ .

$y \frac{d}{d y} [3 x + y^{2} x^{2}] + (3 x + y^{2} x^{2}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Étape 8.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + y^{2} x^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x^{2}]$ .

$y (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x^{2}]) + (3 x + y^{2} x^{2}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Étape 8.3.3

Comme $3 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$y (0 + \frac{d}{d y} [y^{2} x^{2}]) + (3 x + y^{2} x^{2}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Étape 8.3.4

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $y^{2} x^{2}$ par rapport à $y$ est $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$y (0 + x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (3 x + y^{2} x^{2}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Étape 8.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$y (0 + x^{2} (2 y)) + (3 x + y^{2} x^{2}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Étape 8.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y (0 + x^{2} (2 y)) + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Étape 8.3.7

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$y (0 + 2 \cdot x^{2} y) + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Étape 8.3.8

Additionnez $0$ et $2 x^{2} y$ .

$y (2 x^{2} y) + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Étape 8.3.9

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$2 x^{2} (y^{1} y) + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Étape 8.3.10

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$2 x^{2} (y^{1} y^{1}) + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Étape 8.3.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{2} y^{1 + 1} + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Étape 8.3.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 x^{2} y^{2} + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Étape 8.3.13

Multipliez $3 x + y^{2} x^{2}$ par $1$ .

$2 x^{2} y^{2} + 3 x + y^{2} x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Étape 8.3.14

Additionnez $2 x^{2} y^{2}$ et $y^{2} x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.14.1

Remettez dans l’ordre $y^{2}$ et $x^{2}$ .

$2 x^{2} y^{2} + x^{2} y^{2} + 3 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Étape 8.3.14.2

Additionnez $2 x^{2} y^{2}$ et $x^{2} y^{2}$ .

$3 x^{2} y^{2} + 3 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Étape 8.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x^{2} y^{2} + 3 x + \frac{d g}{d y} = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Étape 8.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

Simplifiez $3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1.1

Réécrivez.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x = 0 + 0 + 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Étape 9.1.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Étape 9.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x = 3 (x^{2} y^{2}) + 3 x + 3 \cdot - 1$

Étape 9.1.1.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x = 3 x^{2} y^{2} + 3 x - 3$

Étape 9.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.2.1

Soustrayez $3 x^{2} y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} + 3 x = 3 x^{2} y^{2} + 3 x - 3 - 3 x^{2} y^{2}$

Étape 9.1.2.2

Soustrayez $3 x$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y^{2} + 3 x - 3 - 3 x^{2} y^{2} - 3 x$

Étape 9.1.2.3

Associez les termes opposés dans $3 x^{2} y^{2} + 3 x - 3 - 3 x^{2} y^{2} - 3 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.2.3.1

Soustrayez $3 x^{2} y^{2}$ de $3 x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 x - 3 + 0 - 3 x$

Étape 9.1.2.3.2

Additionnez $3 x - 3$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 x - 3 - 3 x$

Étape 9.1.2.3.3

Soustrayez $3 x$ de $3 x$ .

$\frac{d g}{d y} = 0 - 3$

Étape 9.1.2.3.4

Soustrayez $3$ de $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 3$

Étape 10

Déterminez la primitive de $- 3$ afin de déterminer $g (y)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = - 3$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 3 d y$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 3 d y$

Étape 10.3

Appliquez la règle de la constante.

$g (y) = - 3 y + C$

Étape 11

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = y (3 x + y^{2} x^{2}) + g (y)$ .

$f (x, y) = y (3 x + y^{2} x^{2}) - 3 y + C$

Étape 12

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x, y) = y (3 x) + y (y^{2} x^{2}) - 3 y + C$

Étape 12.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (x, y) = 3 y x + y (y^{2} x^{2}) - 3 y + C$

Étape 12.3

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.3.1

Déplacez $y^{2}$ .

$f (x, y) = 3 y x + y^{2} y x^{2} - 3 y + C$

Étape 12.3.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.3.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$f (x, y) = 3 y x + y^{2} y^{1} x^{2} - 3 y + C$

Étape 12.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (x, y) = 3 y x + y^{2 + 1} x^{2} - 3 y + C$

Étape 12.3.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$f (x, y) = 3 y x + y^{3} x^{2} - 3 y + C$