Calcul infinitésimal Exemples

$d x + (x - y + 6) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 1$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

Étape 1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x - y + 6$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x - y + 6]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - y + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.4

Comme $- y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0 + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.5

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0 + 0$

Étape 2.6

Associez des termes.

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Étape 2.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

Étape 2.6.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $0$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $1$ .

$0 = 1$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$0 = 1$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $1$ .

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $0$ .

$\frac{1 + 0}{M}$

Étape 4.3

Remplacez $M$ par $1$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $M$ par $1$ .

$\frac{1 + 0}{1}$

Étape 4.3.2

Divisez $1 + 0$ par $1$ .

$1 + 0$

Étape 4.3.3

Remplacez $M$ par $1$ .

$1$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int d y}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int d y}$ .

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Étape 5.1

Appliquez la règle de la constante.

$μ (x, y) = e^{y + C}$

Étape 5.2

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{y} + C$

Étape 6

Multipliez $1$ par $e^{y}$ .

$d x + (x - y + 6) d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{y} d x$

Étape 8

Intégrez $M (x, y) = e^{y}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = e^{y} x + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = e^{y} x + g (y)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [e^{y} x + g (y)] = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{y} x + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [e^{y} x]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $e^{y} x$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

Étape 11.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ est $a^{y} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x e^{y} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$x e^{y} + \frac{d g}{d y} = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

Étape 11.5

Simplifiez

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Étape 11.5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + e^{y} x = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

Étape 11.5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{d g}{d y} + e^{y} x$ .

$\frac{d g}{d y} + x e^{y} = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 12.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 12.1.1

Soustrayez $x e^{y}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y} - x e^{y}$

Étape 12.1.2

Associez les termes opposés dans $x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y} - x e^{y}$ .

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Étape 12.1.2.1

Soustrayez $x e^{y}$ de $x e^{y}$ .

$\frac{d g}{d y} = - y e^{y} + 6 e^{y} + 0$

Étape 12.1.2.2

Additionnez $- y e^{y} + 6 e^{y}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y e^{y} + 6 e^{y}$

Étape 13

Déterminez la primitive de $- y e^{y} + 6 e^{y}$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = - y e^{y} + 6 e^{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y e^{y} + 6 e^{y} d y$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y e^{y} + 6 e^{y} d y$

Étape 13.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$g (y) = \int - y e^{y} d y + \int 6 e^{y} d y$

Étape 13.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = - \int y e^{y} d y + \int 6 e^{y} d y$

Étape 13.5

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = y$ et $d v = e^{y}$ .

$g (y) = - (y e^{y} - \int e^{y} d y) + \int 6 e^{y} d y$

Étape 13.6

L’intégrale de $e^{y}$ par rapport à $y$ est $e^{y}$ .

$g (y) = - (y e^{y} - (e^{y} + C)) + \int 6 e^{y} d y$

Étape 13.7

Comme $6$ est constant par rapport à $y$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = - (y e^{y} - (e^{y} + C)) + 6 \int e^{y} d y$

Étape 13.8

L’intégrale de $e^{y}$ par rapport à $y$ est $e^{y}$ .

$g (y) = - (y e^{y} - (e^{y} + C)) + 6 (e^{y} + C)$

Étape 13.9

Simplifiez

$g (y) = - y e^{y} + e^{y} + 6 e^{y} + C$

Étape 13.10

Additionnez $e^{y}$ et $6 e^{y}$ .

$g (y) = - y e^{y} + 7 e^{y} + C$

Étape 14

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = e^{y} x + g (y)$ .

$f (x, y) = e^{y} x - y e^{y} + 7 e^{y} + C$

Étape 15

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $f (x, y) = e^{y} x - y e^{y} + 7 e^{y} + C$ .

$f (x, y) = x e^{y} - y e^{y} + 7 e^{y} + C$