Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{- \frac{3}{4}}$ , $y (1) = 9$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = 3 x^{- \frac{3}{4}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int 3 x^{- \frac{3}{4}} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int 3 x^{- \frac{3}{4}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 3 \int x^{- \frac{3}{4}} d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{3}{4}}$ par rapport à $x$ est $4 x^{\frac{1}{4}}$ .

$y + C_{1} = 3 (4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $3 (4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2})$ comme $3 \cdot 4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 3 \cdot 4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$y + C_{1} = 12 x^{\frac{1}{4}} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = 12 x^{\frac{1}{4}} + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $1$ et $y$ par $9$ dans $y = 12 x^{\frac{1}{4}} + K$ .

$9 = 12 \cdot 1^{\frac{1}{4}} + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $12 \cdot 1^{\frac{1}{4}} + K = 9$ .

$12 \cdot 1^{\frac{1}{4}} + K = 9$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$12 \cdot 1 + K = 9$

Étape 4.2.2

Multipliez $12$ par $1$ .

$12 + K = 9$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $12$ des deux côtés de l’équation.

$K = 9 - 12$

Étape 4.3.2

Soustrayez $12$ de $9$ .

$K = - 3$

Étape 5

Remplacez $K$ par $- 3$ dans $y = 12 x^{\frac{1}{4}} + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $- 3$ .

$y = 12 x^{\frac{1}{4}} - 3$