Calcul infinitésimal Exemples

$x y \frac{d y}{d x} = x^{2} - y^{2}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle en fonction de $\frac{y}{x}$ .

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x y \frac{d y}{d x} = x^{2} - y^{2}$ par $x y$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $x y \frac{d y}{d x} = x^{2} - y^{2}$ par $x y$ .

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Étape 1.1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Étape 1.1.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Étape 1.1.2.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Étape 1.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.1.1

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 1.1.3.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Étape 1.1.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.3.1.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (y)} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Étape 1.1.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Étape 1.1.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Étape 1.1.3.1.2

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 1.1.3.1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $- y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{y (- y)}{x y}$

Étape 1.1.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1.2.2.1

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{y (- y)}{y x}$

Étape 1.1.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{y (- y)}{y x}$

Étape 1.1.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{- y}{x}$

Étape 1.1.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - \frac{y}{x}$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{x}{y}$ comme ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{y}{x})}^{- 1} - \frac{y}{x}$

Étape 2

Laissez $V = \frac{y}{x}$ . Remplacez $\frac{y}{x}$ par $V$ .

$\frac{d y}{d x} = V^{- 1} - V$

Étape 3

Résolvez $V = \frac{y}{x}$ pour $y$ .

$y = V x$

Étape 4

Utilisez la règle de produit pour déterminer la dérivée de $y = V x$ par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Étape 5

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V^{- 1} - V$

Étape 6

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 6.1

Séparez les variables.

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Étape 6.1.1

Résolvez $\frac{d V}{d x}$ .

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Étape 6.1.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{V} - V$

Étape 6.1.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d V}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.1.1.2.1

Soustrayez $V$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - V - V$

Étape 6.1.1.2.2

Soustrayez $V$ de $- V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 2 V$

Étape 6.1.1.3

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 2 V$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 6.1.1.3.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 2 V$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

Étape 6.1.1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.1.1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

Étape 6.1.1.3.2.1.2

Divisez $\frac{d V}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

Étape 6.1.1.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1.3.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.1.2

Multipliez $\frac{1}{V}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} + \frac{- 2 V}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{2 V}{x}$

Étape 6.1.2

Factorisez.

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Étape 6.1.2.1

Pour écrire $- \frac{2 V}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{2 V}{x} \cdot \frac{V}{V}$

Étape 6.1.2.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $V x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.1.2.2.1

Multipliez $\frac{2 V}{x}$ par $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{2 V \cdot V}{x V}$

Étape 6.1.2.2.2

Réorganisez les facteurs de $x V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{2 V \cdot V}{V x}$

Étape 6.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 - 2 V \cdot V}{V x}$

Étape 6.1.2.4

Multipliez $V$ par $V$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.2.4.1

Déplacez $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 - 2 (V \cdot V)}{V x}$

Étape 6.1.2.4.2

Multipliez $V$ par $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 - 2 V^{2}}{V x}$

Étape 6.1.3

Regroupez des facteurs.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 - 2 V^{2}}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 6.1.4

Multipliez les deux côtés par $\frac{V}{1 - 2 V^{2}}$ .

$\frac{V}{1 - 2 V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - 2 V^{2}} (\frac{1 - 2 V^{2}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 6.1.5

Simplifiez

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Étape 6.1.5.1

Multipliez $\frac{1 - 2 V^{2}}{V}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{V}{1 - 2 V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - 2 V^{2}} \cdot \frac{1 - 2 V^{2}}{V x}$

Étape 6.1.5.2

Annulez le facteur commun de $V$ .

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Étape 6.1.5.2.1

Factorisez $V$ à partir de $V x$ .

$\frac{V}{1 - 2 V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - 2 V^{2}} \cdot \frac{1 - 2 V^{2}}{V (x)}$

Étape 6.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{V}{1 - 2 V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - 2 V^{2}} \cdot \frac{1 - 2 V^{2}}{V x}$

Étape 6.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{V}{1 - 2 V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 - 2 V^{2}} \cdot \frac{1 - 2 V^{2}}{x}$

Étape 6.1.5.3

Annulez le facteur commun de $1 - 2 V^{2}$ .

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Étape 6.1.5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{V}{1 - 2 V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 - 2 V^{2}} \cdot \frac{1 - 2 V^{2}}{x}$

Étape 6.1.5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{V}{1 - 2 V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 6.1.6

Réécrivez l’équation.

$\frac{V}{1 - 2 V^{2}} d V = \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 6.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{V}{1 - 2 V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Laissez $u = 1 - 2 V^{2}$ . Alors $d u = - 4 V d V$ , donc $- \frac{1}{4} d u = V d V$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Laissez $u = 1 - 2 V^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d V}$ .

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Étape 6.2.2.1.1.1

Différenciez $1 - 2 V^{2}$ .

$\frac{d}{d V} [1 - 2 V^{2}]$

Étape 6.2.2.1.1.2

Différenciez.

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Étape 6.2.2.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 2 V^{2}$ par rapport à $V$ est $\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [- 2 V^{2}]$ .

$\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [- 2 V^{2}]$

Étape 6.2.2.1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $V$ , la dérivée de $1$ par rapport à $V$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d V} [- 2 V^{2}]$

Étape 6.2.2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d V} [- 2 V^{2}]$ .

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Étape 6.2.2.1.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $V$ , la dérivée de $- 2 V^{2}$ par rapport à $V$ est $- 2 \frac{d}{d V} [V^{2}]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d V} [V^{2}]$

Étape 6.2.2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ est $n V^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - 2 (2 V)$

Étape 6.2.2.1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$0 - 4 V$

Étape 6.2.2.1.1.4

Soustrayez $4 V$ de $0$ .

$- 4 V$

Étape 6.2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 4} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez

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Étape 6.2.2.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{4}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.2.2

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 4} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.2.3

Déplacez $4$ à gauche de $u$ .

$\int - \frac{1}{4 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{4 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.4

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.5

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{4} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.6

Simplifiez

$- \frac{1}{4} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - 2 V^{2}$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 2 V^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 2 V^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 6.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 2 V^{2} |) = \ln (| x |) + C$

Étape 6.3

Résolvez $V$ .

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Étape 6.3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 4$ .

$- 4 (- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 2 V^{2} |)) = - 4 (\ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1.1

Simplifiez $- 4 (- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 2 V^{2} |))$ .

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Étape 6.3.2.1.1.1

Associez $\ln (| 1 - 2 V^{2} |)$ et $\frac{1}{4}$ .

$- 4 (- \frac{\ln (| 1 - 2 V^{2} |)}{4}) = - 4 (\ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.3.2.1.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\ln (| 1 - 2 V^{2} |)}{4}$ dans le numérateur.

$- 4 \frac{- \ln (| 1 - 2 V^{2} |)}{4} = - 4 (\ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2.1.1.2.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{- \ln (| 1 - 2 V^{2} |)}{4} = - 4 (\ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2.1.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$4 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 - 2 V^{2} |)}{4} = - 4 (\ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2.1.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$- - \ln (| 1 - 2 V^{2} |) = - 4 (\ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2.1.1.3

Multipliez.

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Étape 6.3.2.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \ln (| 1 - 2 V^{2} |) = - 4 (\ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2.1.1.3.2

Multipliez $\ln (| 1 - 2 V^{2} |)$ par $1$ .

$\ln (| 1 - 2 V^{2} |) = - 4 (\ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 1 - 2 V^{2} |) = - 4 \ln (| x |) - 4 C$

Étape 6.3.3

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| 1 - 2 V^{2} |) + 4 \ln (| x |) = - 4 C$

Étape 6.3.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.4.1

Simplifiez $\ln (| 1 - 2 V^{2} |) + 4 \ln (| x |)$ .

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Étape 6.3.4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.4.1.1.1

Simplifiez $4 \ln (| x |)$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$\ln (| 1 - 2 V^{2} |) + \ln ({| x |}^{4}) = - 4 C$

Étape 6.3.4.1.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{4}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\ln (| 1 - 2 V^{2} |) + \ln (x^{4}) = - 4 C$

Étape 6.3.4.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 - 2 V^{2} | x^{4}) = - 4 C$

Étape 6.3.4.1.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (| 1 - 2 V^{2} | x^{4})$ .

$\ln (x^{4} | 1 - 2 V^{2} |) = - 4 C$

Étape 6.3.5

Pour résoudre $V$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x^{4} | 1 - 2 V^{2} |)} = e^{- 4 C}$

Étape 6.3.6

Réécrivez $\ln (x^{4} | 1 - 2 V^{2} |) = - 4 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- 4 C} = x^{4} | 1 - 2 V^{2} |$

Étape 6.3.7

Résolvez $V$ .

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Étape 6.3.7.1

Réécrivez l’équation comme $x^{4} | 1 - 2 V^{2} | = e^{- 4 C}$ .

$x^{4} | 1 - 2 V^{2} | = e^{- 4 C}$

Étape 6.3.7.2

Divisez chaque terme dans $x^{4} | 1 - 2 V^{2} | = e^{- 4 C}$ par $x^{4}$ et simplifiez.

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Étape 6.3.7.2.1

Divisez chaque terme dans $x^{4} | 1 - 2 V^{2} | = e^{- 4 C}$ par $x^{4}$ .

$\frac{x^{4} | 1 - 2 V^{2} |}{x^{4}} = \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}}$

Étape 6.3.7.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.7.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{4}$ .

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Étape 6.3.7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{4} | 1 - 2 V^{2} |}{x^{4}} = \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}}$

Étape 6.3.7.2.2.1.2

Divisez $| 1 - 2 V^{2} |$ par $1$ .

$| 1 - 2 V^{2} | = \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}}$

Étape 6.3.7.3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$1 - 2 V^{2} = \pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}}$

Étape 6.3.7.4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 V^{2} = \pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} - 1$

Étape 6.3.7.5

Divisez chaque terme dans $- 2 V^{2} = \pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} - 1$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 6.3.7.5.1

Divisez chaque terme dans $- 2 V^{2} = \pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} - 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 V^{2}}{- 2} = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}}}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}$

Étape 6.3.7.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.7.5.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.7.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 V^{2}}{- 2} = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}}}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}$

Étape 6.3.7.5.2.1.2

Divisez $V^{2}$ par $1$ .

$V^{2} = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}}}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}$

Étape 6.3.7.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.7.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.7.5.3.1.1

Simplifiez $\frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}}}{- 2}$ .

$V^{2} = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}}}{2} + \frac{- 1}{- 2}$

Étape 6.3.7.5.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$V^{2} = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}}}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 6.3.7.6

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}}}{2} + \frac{1}{2}}$

Étape 6.3.7.7

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}}}{2} + \frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.3.7.7.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1}{2}}$

Étape 6.3.7.7.2

Réécrivez $\sqrt{\frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1}}{\sqrt{2}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1}}{\sqrt{2}}$

Étape 6.3.7.7.3

Multipliez $\frac{\sqrt{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 6.3.7.7.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.3.7.7.4.1

Multipliez $\frac{\sqrt{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 6.3.7.7.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 6.3.7.7.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 6.3.7.7.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 6.3.7.7.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 6.3.7.7.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 6.3.7.7.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 6.3.7.7.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 6.3.7.7.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.7.7.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.7.7.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.7.7.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 6.3.7.7.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1} \sqrt{2}}{2}$

Étape 6.3.7.7.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$V = \pm \frac{\sqrt{(\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1) \cdot 2}}{2}$

Étape 6.3.7.7.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm \frac{\sqrt{(\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1) \cdot 2}}{2}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{2 (\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1)}}{2}$

Étape 6.4

Regroupez les termes constants.

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Étape 6.4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$V = \pm \frac{\sqrt{2 (\pm \frac{C}{x^{4}} + 1)}}{2}$

Étape 6.4.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$V = \pm \frac{\sqrt{2 (C \frac{1}{x^{4}} + 1)}}{2}$

Étape 7

Remplacez $V$ par $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{2 (C \frac{1}{x^{4}} + 1)}}{2}$

Étape 8

Résolvez $\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{2 (C \frac{1}{x^{4}} + 1)}}{2}$ pour $y$ .

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Étape 8.1

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{2 (C (\frac{1}{x^{4}}) + 1)}}{2}) x$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{2 (C (\frac{1}{x^{4}}) + 1)}}{2}) x$

Étape 8.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = (\pm \frac{\sqrt{2 (C (\frac{1}{x^{4}}) + 1)}}{2}) x$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.2.1

Simplifiez $(\pm \frac{\sqrt{2 (C (\frac{1}{x^{4}}) + 1)}}{2}) x$ .

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Étape 8.2.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.2.1.1.1

Associez $C$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{2 (\frac{C}{x^{4}} + 1)}}{2}) x$

Étape 8.2.2.1.1.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y = (\pm \frac{\sqrt{2 (\frac{C}{x^{4}} + \frac{x^{4}}{x^{4}})}}{2}) x$

Étape 8.2.2.1.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = (\pm \frac{\sqrt{2 \frac{C + x^{4}}{x^{4}}}}{2}) x$

Étape 8.2.2.1.1.4

Associez $2$ et $\frac{C + x^{4}}{x^{4}}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{\frac{2 (C + x^{4})}{x^{4}}}}{2}) x$

Étape 8.2.2.1.1.5

Réécrivez $\frac{2 (C + x^{4})}{x^{4}}$ comme ${(\frac{1}{x^{2}})}^{2} (2 (C + x^{4}))$ .

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Étape 8.2.2.1.1.5.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $2 (C + x^{4})$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{\frac{1^{2} (2 (C + x^{4}))}{x^{4}}}}{2}) x$

Étape 8.2.2.1.1.5.2

Factorisez la puissance parfaite ${(x^{2})}^{2}$ dans $x^{4}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{\frac{1^{2} (2 (C + x^{4}))}{{(x^{2})}^{2} \cdot 1}}}{2}) x$

Étape 8.2.2.1.1.5.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} (2 (C + x^{4}))}{{(x^{2})}^{2} \cdot 1}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{{(\frac{1}{x^{2}})}^{2} (2 (C + x^{4}))}}{2}) x$

Étape 8.2.2.1.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = (\pm \frac{\frac{1}{x^{2}} \sqrt{2 (C + x^{4})}}{2}) x$

Étape 8.2.2.1.1.7

Associez $\frac{1}{x^{2}}$ et $\sqrt{2 (C + x^{4})}$ .

$y = (\pm \frac{\frac{\sqrt{2 (C + x^{4})}}{x^{2}}}{2}) x$

Étape 8.2.2.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = (\pm \frac{\sqrt{2 (C + x^{4})}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2}) x$

Étape 8.2.2.1.3

Associez.

$y = (\pm \frac{\sqrt{2 (C + x^{4})} \cdot 1}{x^{2} \cdot 2}) x$

Étape 8.2.2.1.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.2.2.1.4.1

Multipliez $\sqrt{2 (C + x^{4})}$ par $1$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{2 (C + x^{4})}}{x^{2} \cdot 2}) x$

Étape 8.2.2.1.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{2 (C + x^{4})}}{2 x^{2}}) x$