Calcul infinitésimal Exemples

$(3 x^{2} y^{3} + y^{4}) d x + (3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3}) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 3 x^{2} y^{3} + y^{4}$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{3} + y^{4}]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} y^{3} + y^{4}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{3}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $3 x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 x^{2} y^{3}$ par rapport à $y$ est $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

Étape 1.3.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 9 x^{2} y^{2} + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 9 x^{2} y^{2} + 4 y^{3}$

Étape 1.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} + 9 x^{2} y^{2}$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3}$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3}]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x y^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x y^{3}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{3} y^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $3 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{3} y^{2}$ par rapport à $x$ est $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x y^{3}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x y^{3}]$

Étape 2.3.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 y^{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x y^{3}]$

Étape 2.4

Comme $y^{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y^{4}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 y^{2} x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [4 x y^{3}]$

Étape 2.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x y^{3}]$ .

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Étape 2.5.1

Comme $4 y^{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x y^{3}$ par rapport à $x$ est $4 y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 y^{2} x^{2} + 0 + 4 y^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 y^{2} x^{2} + 0 + 4 y^{3} \cdot 1$

Étape 2.5.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 y^{2} x^{2} + 0 + 4 y^{3}$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Additionnez $9 y^{2} x^{2}$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 y^{2} x^{2} + 4 y^{3}$

Étape 2.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y^{3} + 9 x^{2} y^{2}$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $4 y^{3} + 9 x^{2} y^{2}$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $4 y^{3} + 9 x^{2} y^{2}$ .

$4 y^{3} + 9 x^{2} y^{2} = 4 y^{3} + 9 x^{2} y^{2}$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$4 y^{3} + 9 x^{2} y^{2} = 4 y^{3} + 9 x^{2} y^{2}$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y^{3} + y^{4} d x$

Étape 5

Intégrez $M (x, y) = 3 x^{2} y^{3} + y^{4}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y^{3} d x + \int y^{4} d x$

Étape 5.2

Comme $3 y^{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $3 y^{3}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 3 y^{3} \int x^{2} d x + \int y^{4} d x$

Étape 5.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 y^{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int y^{4} d x$

Étape 5.4

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = 3 y^{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + y^{4} x + C$

Étape 5.5

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 y^{3} (\frac{x^{3}}{3} + C) + y^{4} x + C$

Étape 5.6

Simplifiez

$f (x, y) = y^{3} x^{3} + y^{4} x + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{3} + y^{4} x + g (y)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3}$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x^{3} + y^{4} x + g (y)] = 3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3}$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{3} x^{3} + y^{4} x + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3}$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [y^{3} x^{3}]$ .

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Étape 8.3.1

Comme $x^{3}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $y^{3} x^{3}$ par rapport à $y$ est $x^{3} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$x^{3} \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3}$

Étape 8.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{3} (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3}$

Étape 8.3.3

Déplacez $3$ à gauche de $x^{3}$ .

$3 x^{3} y^{2} + \frac{d}{d y} [y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3}$

Étape 8.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [y^{4} x]$ .

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Étape 8.4.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $y^{4} x$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$3 x^{3} y^{2} + x \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3}$

Étape 8.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$3 x^{3} y^{2} + x (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3}$

Étape 8.4.3

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$3 x^{3} y^{2} + 4 x y^{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3}$

Étape 8.5

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x^{3} y^{2} + 4 x y^{3} + \frac{d g}{d y} = 3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3}$

Étape 8.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{3} y^{2} + 4 y^{3} x = 3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3}$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Soustrayez $3 x^{3} y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} + 4 y^{3} x = 3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3} - 3 x^{3} y^{2}$

Étape 9.1.2

Soustrayez $4 y^{3} x$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3} - 3 x^{3} y^{2} - 4 y^{3} x$

Étape 9.1.3

Associez les termes opposés dans $3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3} - 3 x^{3} y^{2} - 4 y^{3} x$ .

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Étape 9.1.3.1

Soustrayez $3 x^{3} y^{2}$ de $3 x^{3} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{4} + 4 x y^{3} + 0 - 4 y^{3} x$

Étape 9.1.3.2

Additionnez $y^{4} + 4 x y^{3}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{4} + 4 x y^{3} - 4 y^{3} x$

Étape 9.1.3.3

Réorganisez les facteurs dans les termes $4 x y^{3}$ et $- 4 y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{4} + 4 y^{3} x - 4 y^{3} x$

Étape 9.1.3.4

Soustrayez $4 y^{3} x$ de $4 y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{4} + 0$

Étape 9.1.3.5

Additionnez $y^{4}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{4}$

Étape 10

Déterminez la primitive de $y^{4}$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = y^{4}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{4} d y$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{4} d y$

Étape 10.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{4}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$g (y) = \frac{1}{5} y^{5} + C$

Étape 11

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = y^{3} x^{3} + y^{4} x + g (y)$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{3} + y^{4} x + \frac{1}{5} y^{5} + C$

Étape 12

Associez $\frac{1}{5}$ et $y^{5}$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{3} + y^{4} x + \frac{y^{5}}{5} + C$