Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = x e^{3 x}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = x e^{3 x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int x e^{3 x} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int x e^{3 x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{3 x}$ .

$y + C_{1} = x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $e^{3 x}$ .

$y + C_{1} = x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x$

Étape 2.3.2.2

Associez $x$ et $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x)$

Étape 2.3.4

Laissez $u = 3 x$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.4.1

Laissez $u = 3 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.4.1.1

Différenciez $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 2.3.4.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 2.3.4.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 2.3.4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Étape 2.3.5

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Étape 2.3.6

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Étape 2.3.7

Simplifiez

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Étape 2.3.7.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u$

Étape 2.3.7.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$y + C_{1} = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u$

Étape 2.3.8

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C_{2})$

Étape 2.3.9

Réécrivez $\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C_{2})$ comme $\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u} + C_{2}$

Étape 2.3.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + C_{2}$

Étape 2.3.11

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{3 x} x - \frac{1}{9} e^{3 x} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{1}{3} e^{3 x} x - \frac{1}{9} e^{3 x} + K$