Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x}$ of $y = - 2 x + 5$

Étape 1

Écrivez le problème comme une expression mathématique.

$\frac{d y}{d x} \cdot y = - 2 x + 5$

Étape 2

Séparez les variables.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $\frac{d y}{d x} \cdot y = - 2 x + 5$ par $y$ et simplifiez.

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Étape 2.1.1

Divisez chaque terme dans $\frac{d y}{d x} \cdot y = - 2 x + 5$ par $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot y}{y} = \frac{- 2 x}{y} + \frac{5}{y}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot y}{y} = \frac{- 2 x}{y} + \frac{5}{y}$

Étape 2.1.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x}{y} + \frac{5}{y}$

Étape 2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y} + \frac{5}{y}$

Étape 2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x + 5}{y}$

Étape 2.3

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{- 2 x + 5}{y}$

Étape 2.4

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 2.4.1

Annulez le facteur commun.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{- 2 x + 5}{y}$

Étape 2.4.2

Réécrivez l’expression.

$y \frac{d y}{d x} = - 2 x + 5$

Étape 2.5

Réécrivez l’équation.

$y d y = (- 2 x + 5) d x$

Étape 3

Intégrez les deux côtés.

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Étape 3.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int - 2 x + 5 d x$

Étape 3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - 2 x + 5 d x$

Étape 3.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - 2 x d x + \int 5 d x$

Étape 3.3.2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 2 \int x d x + \int 5 d x$

Étape 3.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int 5 d x$

Étape 3.3.4

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 5 x + C_{3}$

Étape 3.3.5

Simplifiez

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Étape 3.3.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 5 x + C_{3}$

Étape 3.3.5.2

Simplifiez

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - x^{2} + 5 x + C_{4}$

Étape 3.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - x^{2} + 5 x + K$

Étape 4

Résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- x^{2} + 5 x + K)$

Étape 4.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 4.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- x^{2} + 5 x + K)$

Étape 4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- x^{2} + 5 x + K)$

Étape 4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (- x^{2} + 5 x + K)$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez $2 (- x^{2} + 5 x + K)$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 (- x^{2}) + 2 (5 x) + 2 K$

Étape 4.2.2.1.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y^{2} = - 2 x^{2} + 2 (5 x) + 2 K$

Étape 4.2.2.1.2.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$y^{2} = - 2 x^{2} + 10 x + 2 K$

Étape 4.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{- 2 x^{2} + 10 x + 2 K}$

Étape 4.4

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2} + 10 x + 2 K$ .

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Étape 4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x^{2}) + 10 x + 2 K}$

Étape 4.4.2

Factorisez $2$ à partir de $10 x$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x^{2}) + 2 (5 x) + 2 K}$

Étape 4.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x^{2}) + 2 (5 x) + 2 K}$

Étape 4.4.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x^{2}) + 2 (5 x)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x^{2} + 5 x) + 2 K}$

Étape 4.4.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x^{2} + 5 x) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x^{2} + 5 x + K)}$

Étape 4.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{2 (- x^{2} + 5 x + K)}$

Étape 4.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{2 (- x^{2} + 5 x + K)}$

Étape 4.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{2 (- x^{2} + 5 x + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x^{2} + 5 x + K)}$

$y = \sqrt{2 (- x^{2} + 5 x + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x^{2} + 5 x + K)}$

$y = \sqrt{2 (- x^{2} + 5 x + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x^{2} + 5 x + K)}$