Calcul infinitésimal Exemples

$(4 + 5 y) d x + (1 + 5 x) d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $(4 + 5 y) d x$ des deux côtés de l’équation.

$(1 + 5 x) d y = - (4 + 5 y) d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{(1 + 5 x) (4 + 5 y)}$ .

$\frac{1}{(1 + 5 x) (4 + 5 y)} (1 + 5 x) d y = \frac{1}{(1 + 5 x) (4 + 5 y)} (- (4 + 5 y)) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $1 + 5 x$ .

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{(1 + 5 x) (4 + 5 y)} (1 + 5 x) d y = \frac{1}{(1 + 5 x) (4 + 5 y)} (- (4 + 5 y)) d x$

Étape 3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4 + 5 y} d y = \frac{1}{(1 + 5 x) (4 + 5 y)} (- (4 + 5 y)) d x$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{4 + 5 y} d y = - \frac{1}{(1 + 5 x) (4 + 5 y)} (4 + 5 y) d x$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $4 + 5 y$ .

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Étape 3.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{(1 + 5 x) (4 + 5 y)}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{4 + 5 y} d y = \frac{- 1}{(1 + 5 x) (4 + 5 y)} (4 + 5 y) d x$

Étape 3.3.2

Factorisez $4 + 5 y$ à partir de $(1 + 5 x) (4 + 5 y)$ .

$\frac{1}{4 + 5 y} d y = \frac{- 1}{(4 + 5 y) (1 + 5 x)} (4 + 5 y) d x$

Étape 3.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4 + 5 y} d y = \frac{- 1}{(4 + 5 y) (1 + 5 x)} (4 + 5 y) d x$

Étape 3.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4 + 5 y} d y = \frac{- 1}{1 + 5 x} d x$

Étape 3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{4 + 5 y} d y = - \frac{1}{1 + 5 x} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{4 + 5 y} d y = \int - \frac{1}{1 + 5 x} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Laissez $u_{1} = 4 + 5 y$ . Alors $d u_{1} = 5 d y$ , donc $\frac{1}{5} d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 4.2.1.1

Laissez $u_{1} = 4 + 5 y$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Différenciez $4 + 5 y$ .

$\frac{d}{d y} [4 + 5 y]$

Étape 4.2.1.1.2

Différenciez.

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Étape 4.2.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 + 5 y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [5 y]$ .

$\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [5 y]$

Étape 4.2.1.1.2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $4$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [5 y]$

Étape 4.2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [5 y]$ .

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Étape 4.2.1.1.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $5 y$ par rapport à $y$ est $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 4.2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 5 \cdot 1$

Étape 4.2.1.1.3.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$0 + 5$

Étape 4.2.1.1.4

Additionnez $0$ et $5$ .

$5$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{5} d u_{1} = \int - \frac{1}{1 + 5 x} d x$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{u_{1}}$ par $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 5} d u_{1} = \int - \frac{1}{1 + 5 x} d x$

Étape 4.2.2.2

Déplacez $5$ à gauche de $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{5 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{1 + 5 x} d x$

Étape 4.2.3

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{5} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{1 + 5 x} d x$

Étape 4.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{5} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{1 + 5 x} d x$

Étape 4.2.5

Simplifiez

$\frac{1}{5} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{1 + 5 x} d x$

Étape 4.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $4 + 5 y$ .

$\frac{1}{5} \ln (| 4 + 5 y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{1 + 5 x} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{5} \ln (| 4 + 5 y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{1 + 5 x} d x$

Étape 4.3.2

Laissez $u_{2} = 1 + 5 x$ . Alors $d u_{2} = 5 d x$ , donc $\frac{1}{5} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 4.3.2.1

Laissez $u_{2} = 1 + 5 x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Différenciez $1 + 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 5 x]$

Étape 4.3.2.1.2

Différenciez.

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Étape 4.3.2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 5 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 4.3.2.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 4.3.2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Étape 4.3.2.1.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.3.2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 5 \cdot 1$

Étape 4.3.2.1.3.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$0 + 5$

Étape 4.3.2.1.4

Additionnez $0$ et $5$ .

$5$

Étape 4.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{5} \ln (| 4 + 5 y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{5} d u_{2}$

Étape 4.3.3

Simplifiez

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Étape 4.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{u_{2}}$ par $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5} \ln (| 4 + 5 y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 5} d u_{2}$

Étape 4.3.3.2

Déplacez $5$ à gauche de $u_{2}$ .

$\frac{1}{5} \ln (| 4 + 5 y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{5 u_{2}} d u_{2}$

Étape 4.3.4

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{5} \ln (| 4 + 5 y |) + C_{1} = - (\frac{1}{5} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Étape 4.3.5

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{5} \ln (| 4 + 5 y |) + C_{1} = - \frac{1}{5} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Étape 4.3.6

Simplifiez

$\frac{1}{5} \ln (| 4 + 5 y |) + C_{1} = - \frac{1}{5} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Étape 4.3.7

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 + 5 x$ .

$\frac{1}{5} \ln (| 4 + 5 y |) + C_{1} = - \frac{1}{5} \ln (| 1 + 5 x |) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{5} \ln (| 4 + 5 y |) = - \frac{1}{5} \ln (| 1 + 5 x |) + C$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $5$ .

$5 (\frac{1}{5} \ln (| 4 + 5 y |)) = 5 (- \frac{1}{5} \ln (| 1 + 5 x |) + C)$

Étape 5.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez $5 (\frac{1}{5} \ln (| 4 + 5 y |))$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $\ln (| 4 + 5 y |)$ .

$5 \frac{\ln (| 4 + 5 y |)}{5} = 5 (- \frac{1}{5} \ln (| 1 + 5 x |) + C)$

Étape 5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$5 \frac{\ln (| 4 + 5 y |)}{5} = 5 (- \frac{1}{5} \ln (| 1 + 5 x |) + C)$

Étape 5.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 4 + 5 y |) = 5 (- \frac{1}{5} \ln (| 1 + 5 x |) + C)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez $5 (- \frac{1}{5} \ln (| 1 + 5 x |) + C)$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Associez $\ln (| 1 + 5 x |)$ et $\frac{1}{5}$ .

$\ln (| 4 + 5 y |) = 5 (- \frac{\ln (| 1 + 5 x |)}{5} + C)$

Étape 5.2.2.1.2

Pour écrire $C$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\ln (| 4 + 5 y |) = 5 (- \frac{\ln (| 1 + 5 x |)}{5} + C \cdot \frac{5}{5})$

Étape 5.2.2.1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.2.1.3.1

Associez $C$ et $\frac{5}{5}$ .

$\ln (| 4 + 5 y |) = 5 (- \frac{\ln (| 1 + 5 x |)}{5} + \frac{C \cdot 5}{5})$

Étape 5.2.2.1.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\ln (| 4 + 5 y |) = 5 \frac{- \ln (| 1 + 5 x |) + C \cdot 5}{5}$

Étape 5.2.2.1.3.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.2.2.1.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (| 4 + 5 y |) = 5 \frac{- \ln (| 1 + 5 x |) + C \cdot 5}{5}$

Étape 5.2.2.1.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 4 + 5 y |) = - \ln (| 1 + 5 x |) + C \cdot 5$

Étape 5.2.2.1.4

Déplacez $5$ à gauche de $C$ .

$\ln (| 4 + 5 y |) = - \ln (| 1 + 5 x |) + 5 C$

Étape 5.3

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| 4 + 5 y |) + \ln (| 1 + 5 x |) = 5 C$

Étape 5.4

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 4 + 5 y | | 1 + 5 x |) = 5 C$

Étape 5.5

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$\ln (| (4 + 5 y) (1 + 5 x) |) = 5 C$

Étape 5.6

Développez $(4 + 5 y) (1 + 5 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 4 (1 + 5 x) + 5 y (1 + 5 x) |) = 5 C$

Étape 5.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 4 \cdot 1 + 4 (5 x) + 5 y (1 + 5 x) |) = 5 C$

Étape 5.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 4 \cdot 1 + 4 (5 x) + 5 y \cdot 1 + 5 y (5 x) |) = 5 C$

Étape 5.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.7.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$\ln (| 4 + 4 (5 x) + 5 y \cdot 1 + 5 y (5 x) |) = 5 C$

Étape 5.7.2

Multipliez $5$ par $4$ .

$\ln (| 4 + 20 x + 5 y \cdot 1 + 5 y (5 x) |) = 5 C$

Étape 5.7.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$\ln (| 4 + 20 x + 5 y + 5 y (5 x) |) = 5 C$

Étape 5.7.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\ln (| 4 + 20 x + 5 y + 5 \cdot (5 y x) |) = 5 C$

Étape 5.7.5

Multipliez $5$ par $5$ .

$\ln (| 4 + 20 x + 5 y + 25 y x |) = 5 C$

Étape 5.8

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| 4 + 20 x + 5 y + 25 y x |)} = e^{5 C}$

Étape 5.9

Réécrivez $\ln (| 4 + 20 x + 5 y + 25 y x |) = 5 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{5 C} = | 4 + 20 x + 5 y + 25 y x |$

Étape 5.10

Résolvez $y$ .

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Étape 5.10.1

Réécrivez l’équation comme $| 4 + 20 x + 5 y + 25 y x | = e^{5 C}$ .

$| 4 + 20 x + 5 y + 25 y x | = e^{5 C}$

Étape 5.10.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$4 + 20 x + 5 y + 25 y x = \pm e^{5 C}$

Étape 5.10.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.10.3.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$20 x + 5 y + 25 y x = \pm e^{5 C} - 4$

Étape 5.10.3.2

Soustrayez $20 x$ des deux côtés de l’équation.

$5 y + 25 y x = \pm e^{5 C} - 4 - 20 x$

Étape 5.10.4

Factorisez $5 y$ à partir de $5 y + 25 y x$ .

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Étape 5.10.4.1

Factorisez $5 y$ à partir de $5 y$ .

$5 y (1) + 25 y x = \pm e^{5 C} - 4 - 20 x$

Étape 5.10.4.2

Factorisez $5 y$ à partir de $25 y x$ .

$5 y (1) + 5 y (5 x) = \pm e^{5 C} - 4 - 20 x$

Étape 5.10.4.3

Factorisez $5 y$ à partir de $5 y (1) + 5 y (5 x)$ .

$5 y (1 + 5 x) = \pm e^{5 C} - 4 - 20 x$

Étape 5.10.5

Divisez chaque terme dans $5 y (1 + 5 x) = \pm e^{5 C} - 4 - 20 x$ par $5 (1 + 5 x)$ et simplifiez.

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Étape 5.10.5.1

Divisez chaque terme dans $5 y (1 + 5 x) = \pm e^{5 C} - 4 - 20 x$ par $5 (1 + 5 x)$ .

$\frac{5 y (1 + 5 x)}{5 (1 + 5 x)} = \frac{\pm e^{5 C}}{5 (1 + 5 x)} + \frac{- 4}{5 (1 + 5 x)} + \frac{- 20 x}{5 (1 + 5 x)}$

Étape 5.10.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.10.5.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.10.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 y (1 + 5 x)}{5 (1 + 5 x)} = \frac{\pm e^{5 C}}{5 (1 + 5 x)} + \frac{- 4}{5 (1 + 5 x)} + \frac{- 20 x}{5 (1 + 5 x)}$

Étape 5.10.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y (1 + 5 x)}{1 + 5 x} = \frac{\pm e^{5 C}}{5 (1 + 5 x)} + \frac{- 4}{5 (1 + 5 x)} + \frac{- 20 x}{5 (1 + 5 x)}$

Étape 5.10.5.2.2

Annulez le facteur commun de $1 + 5 x$ .

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Étape 5.10.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (1 + 5 x)}{1 + 5 x} = \frac{\pm e^{5 C}}{5 (1 + 5 x)} + \frac{- 4}{5 (1 + 5 x)} + \frac{- 20 x}{5 (1 + 5 x)}$

Étape 5.10.5.2.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\pm e^{5 C}}{5 (1 + 5 x)} + \frac{- 4}{5 (1 + 5 x)} + \frac{- 20 x}{5 (1 + 5 x)}$

Étape 5.10.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.10.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.10.5.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{\pm e^{5 C}}{5 (1 + 5 x)} - \frac{4}{5 (1 + 5 x)} + \frac{- 20 x}{5 (1 + 5 x)}$

Étape 5.10.5.3.1.2

Annulez le facteur commun à $- 20$ et $5$ .

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Étape 5.10.5.3.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $- 20 x$ .

$y = \frac{\pm e^{5 C}}{5 (1 + 5 x)} - \frac{4}{5 (1 + 5 x)} + \frac{5 (- 4 x)}{5 (1 + 5 x)}$

Étape 5.10.5.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.10.5.3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\pm e^{5 C}}{5 (1 + 5 x)} - \frac{4}{5 (1 + 5 x)} + \frac{5 (- 4 x)}{5 (1 + 5 x)}$

Étape 5.10.5.3.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\pm e^{5 C}}{5 (1 + 5 x)} - \frac{4}{5 (1 + 5 x)} + \frac{- 4 x}{1 + 5 x}$

Étape 5.10.5.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{\pm e^{5 C}}{5 (1 + 5 x)} - \frac{4}{5 (1 + 5 x)} - \frac{4 x}{1 + 5 x}$

Étape 5.10.5.3.2

Pour écrire $- \frac{4 x}{1 + 5 x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{\pm e^{5 C}}{5 (1 + 5 x)} - \frac{4 x}{1 + 5 x} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{5 (1 + 5 x)}$

Étape 5.10.5.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $5 (1 + 5 x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.10.5.3.3.1

Multipliez $\frac{4 x}{1 + 5 x}$ par $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{\pm e^{5 C}}{5 (1 + 5 x)} - \frac{4 x \cdot 5}{(1 + 5 x) \cdot 5} - \frac{4}{5 (1 + 5 x)}$

Étape 5.10.5.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(1 + 5 x) \cdot 5$ .

$y = \frac{\pm e^{5 C}}{5 (1 + 5 x)} - \frac{4 x \cdot 5}{5 (1 + 5 x)} - \frac{4}{5 (1 + 5 x)}$

Étape 5.10.5.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\pm e^{5 C} - 4 x \cdot 5}{5 (1 + 5 x)} - \frac{4}{5 (1 + 5 x)}$

Étape 5.10.5.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\pm e^{5 C} - 4 x \cdot 5 - 4}{5 (1 + 5 x)}$

Étape 5.10.5.3.6

Multipliez $5$ par $- 4$ .

$y = \frac{\pm e^{5 C} - 20 x - 4}{5 (1 + 5 x)}$

Étape 6

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{C - 20 x - 4}{5 (1 + 5 x)}$