Calcul infinitésimal Exemples

$(y \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) d x + (\tan (x) + 2 y) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = y \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y \sec^{2} (x)] + \frac{d}{d y} [\sec (x) \tan (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \sec^{2} (x)] + \frac{d}{d y} [\sec (x) \tan (x)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [y \sec^{2} (x)]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $\sec^{2} (x)$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $y \sec^{2} (x)$ par rapport à $y$ est $\sec^{2} (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sec^{2} (x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [\sec (x) \tan (x)]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sec^{2} (x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [\sec (x) \tan (x)]$

Étape 1.3.3

Multipliez $\sec^{2} (x)$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sec^{2} (x) + \frac{d}{d y} [\sec (x) \tan (x)]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.4.1

Comme $\sec (x) \tan (x)$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\sec (x) \tan (x)$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sec^{2} (x) + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $\sec^{2} (x)$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sec^{2} (x)$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = \tan (x) + 2 y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\tan (x) + 2 y]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\tan (x) + 2 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.3

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \sec^{2} (x) + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $\sec^{2} (x)$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \sec^{2} (x)$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $\sec^{2} (x)$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\sec^{2} (x) = \sec^{2} (x)$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \tan (x) + 2 y d y$

Étape 5

Intégrez $N (x, y) = \tan (x) + 2 y$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int \tan (x) d y + \int 2 y d y$

Étape 5.2

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = \tan (x) y + C + \int 2 y d y$

Étape 5.3

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = \tan (x) y + C + 2 \int y d y$

Étape 5.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \tan (x) y + C + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Étape 5.5

Simplifiez

$f (x, y) = \tan (x) y + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Étape 5.6

Simplifiez

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Étape 5.6.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \tan (x) y + \frac{2}{2} y^{2} + C$

Étape 5.6.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = \tan (x) y + \frac{2}{2} y^{2} + C$

Étape 5.6.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = \tan (x) y + 1 y^{2} + C$

Étape 5.6.3

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$f (x, y) = \tan (x) y + y^{2} + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = \tan (x) y + y^{2} + g (x)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x) y + y^{2} + g (x)] = y \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\tan (x) y + y^{2} + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\tan (x) y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x) y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\tan (x) y]$ .

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Étape 8.3.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\tan (x) y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$y \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)$

Étape 8.3.2

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$y \sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)$

Étape 8.4

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$y \sec^{2} (x) + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)$

Étape 8.5

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$y \sec^{2} (x) + 0 + \frac{d g}{d x} = y \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)$

Étape 8.6

Simplifiez

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Étape 8.6.1

Additionnez $y \sec^{2} (x)$ et $0$ .

$y \sec^{2} (x) + \frac{d g}{d x} = y \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)$

Étape 8.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + y \sec^{2} (x) = y \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Soustrayez $y \sec^{2} (x)$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = y \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) - y \sec^{2} (x)$

Étape 9.1.2

Associez les termes opposés dans $y \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) - y \sec^{2} (x)$ .

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Étape 9.1.2.1

Soustrayez $y \sec^{2} (x)$ de $y \sec^{2} (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = \sec (x) \tan (x) + 0$

Étape 9.1.2.2

Additionnez $\sec (x) \tan (x)$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = \sec (x) \tan (x)$

Étape 10

Déterminez la primitive de $\sec (x) \tan (x)$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = \sec (x) \tan (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Étape 10.3

Comme la dérivée de $\sec (x)$ est $\sec (x) \tan (x)$ , l’intégrale de $\sec (x) \tan (x)$ est $\sec (x)$ .

$g (x) = \sec (x) + C$

Étape 11

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = \tan (x) y + y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = \tan (x) y + y^{2} + \sec (x) + C$

Étape 12

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $f (x, y) = \tan (x) y + y^{2} + \sec (x) + C$ .

$f (x, y) = y \tan (x) + y^{2} + \sec (x) + C$