Calcul infinitésimal Exemples

$(1 + x^{3}) d y = 3 x^{2} (y d) x$

Étape 1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{(1 + x^{3}) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{3}) y} (1 + x^{3}) d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (3 x^{2} y) d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun de $1 + x^{3}$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $1 + x^{3}$ à partir de $(1 + x^{3}) y$ .

$\frac{1}{(1 + x^{3}) (y)} (1 + x^{3}) d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (3 x^{2} y) d x$

Étape 2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{(1 + x^{3}) y} (1 + x^{3}) d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (3 x^{2} y) d x$

Étape 2.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (3 x^{2} y) d x$

Étape 2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (x^{2} y) d x$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1^{3} + x^{3}) y} (x^{2} y) d x$

Étape 2.3.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2}) y} (x^{2} y) d x$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2}) y} (x^{2} y) d x$

Étape 2.3.3.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1 + x) (1 - x + x^{2}) y} (x^{2} y) d x$

Étape 2.4

Associez $3$ et $\frac{1}{(1 + x) (1 - x + x^{2}) y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{(1 + x) (1 - x + x^{2}) y} (x^{2} y) d x$

Étape 2.5

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 2.5.1

Factorisez $y$ à partir de $(1 + x) (1 - x + x^{2}) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{y ((1 + x) (1 - x + x^{2}))} (x^{2} y) d x$

Étape 2.5.2

Factorisez $y$ à partir de $x^{2} y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{y ((1 + x) (1 - x + x^{2}))} (y x^{2}) d x$

Étape 2.5.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{y ((1 + x) (1 - x + x^{2}))} (y x^{2}) d x$

Étape 2.5.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} x^{2} d x$

Étape 2.6

Associez $\frac{3}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Étape 3

Intégrez les deux côtés.

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Étape 3.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Étape 3.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Étape 3.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Étape 3.3.2

Laissez $u = (1 + x) (1 - x + x^{2})$ . Alors $d u = 3 x^{2} d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.3.2.1

Laissez $u = (1 + x) (1 - x + x^{2})$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Différenciez $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ .

$\frac{d}{d x} [(1 + x) (1 - x + x^{2})]$

Étape 3.3.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 1 + x$ et $g (x) = 1 - x + x^{2}$ .

$(1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x + x^{2}] + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 3.3.2.1.3

Différenciez.

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Étape 3.3.2.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 3.3.2.1.3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 3.3.2.1.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 3.3.2.1.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 3.3.2.1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(1 + x) (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 3.3.2.1.3.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(1 + x) (- 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 3.3.2.1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 3.3.2.1.3.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.2.1.3.9

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.2.1.3.10

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3.2.1.3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \cdot 1$

Étape 3.3.2.1.3.12

Multipliez $1 - x + x^{2}$ par $1$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + 1 - x + x^{2}$

Étape 3.3.2.1.4

Simplifiez

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Étape 3.3.2.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$(1 + x) \cdot - 1 + (1 + x) (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Étape 3.3.2.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cdot - 1 + x \cdot - 1 + (1 + x) (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Étape 3.3.2.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cdot - 1 + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Étape 3.3.2.1.4.4

Associez des termes.

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Étape 3.3.2.1.4.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Étape 3.3.2.1.4.4.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$- 1 - 1 \cdot x + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Étape 3.3.2.1.4.4.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$- 1 - x + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Étape 3.3.2.1.4.4.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 1 - x + 2 x + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Étape 3.3.2.1.4.4.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 1 - x + 2 x + 2 (x^{1} x) + 1 - x + x^{2}$

Étape 3.3.2.1.4.4.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 1 - x + 2 x + 2 (x^{1} x^{1}) + 1 - x + x^{2}$

Étape 3.3.2.1.4.4.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 1 - x + 2 x + 2 x^{1 + 1} + 1 - x + x^{2}$

Étape 3.3.2.1.4.4.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 1 - x + 2 x + 2 x^{2} + 1 - x + x^{2}$

Étape 3.3.2.1.4.4.9

Additionnez $- x$ et $2 x$ .

$- 1 + x + 2 x^{2} + 1 - x + x^{2}$

Étape 3.3.2.1.4.4.10

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$x + 2 x^{2} + 0 - x + x^{2}$

Étape 3.3.2.1.4.4.11

Additionnez $x + 2 x^{2}$ et $0$ .

$x + 2 x^{2} - x + x^{2}$

Étape 3.3.2.1.4.4.12

Soustrayez $x$ de $x$ .

$2 x^{2} + 0 + x^{2}$

Étape 3.3.2.1.4.4.13

Additionnez $2 x^{2}$ et $0$ .

$2 x^{2} + x^{2}$

Étape 3.3.2.1.4.4.14

Additionnez $2 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Étape 3.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

Étape 3.3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Étape 3.3.3.2

Déplacez $3$ à gauche de $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{3 u} d u$

Étape 3.3.4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 3.3.5

Simplifiez

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Étape 3.3.5.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 3.3.5.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 3.3.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

Étape 3.3.5.3

Multipliez $\int \frac{1}{u} d u$ par $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Étape 3.3.6

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Étape 3.3.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) + C_{2}$

Étape 3.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) + C$

Étape 4

Résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y |) - \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) = C$

Étape 4.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}) = C$

Étape 4.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |})} = e^{C}$

Étape 4.4

Réécrivez $\ln (\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}$

Étape 4.5

Résolvez $y$ .

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Étape 4.5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |} = e^{C}$

Étape 4.5.2

Multipliez les deux côtés par $| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$ .

$\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) | = e^{C} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$

Étape 4.5.3

Simplifiez

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Étape 4.5.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.5.3.1.1

Annulez le facteur commun de $| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$ .

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Étape 4.5.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) | = e^{C} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$

Étape 4.5.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$| y | = e^{C} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$

Étape 4.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.5.3.2.1

Simplifiez $e^{C} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$ .

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Étape 4.5.3.2.1.1

Développez $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$| y | = e^{C} | 1 \cdot 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

Étape 4.5.3.2.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 4.5.3.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.3.2.1.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$| y | = e^{C} | 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

Étape 4.5.3.2.1.2.1.2

Multipliez $- x$ par $1$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

Étape 4.5.3.2.1.2.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

Étape 4.5.3.2.1.2.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

Étape 4.5.3.2.1.2.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x \cdot x + x \cdot x^{2} |$

Étape 4.5.3.2.1.2.1.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.5.3.2.1.2.1.6.1

Déplacez $x$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - (x \cdot x) + x \cdot x^{2} |$

Étape 4.5.3.2.1.2.1.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x \cdot x^{2} |$

Étape 4.5.3.2.1.2.1.7

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.5.3.2.1.2.1.7.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 4.5.3.2.1.2.1.7.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1} x^{2} |$

Étape 4.5.3.2.1.2.1.7.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1 + 2} |$

Étape 4.5.3.2.1.2.1.7.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3} |$

Étape 4.5.3.2.1.2.2

Associez les termes opposés dans $1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3}$ .

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Étape 4.5.3.2.1.2.2.1

Additionnez $- x$ et $x$ .

$| y | = e^{C} | 1 + x^{2} + 0 - x^{2} + x^{3} |$

Étape 4.5.3.2.1.2.2.2

Additionnez $1 + x^{2}$ et $0$ .

$| y | = e^{C} | 1 + x^{2} - x^{2} + x^{3} |$

Étape 4.5.3.2.1.2.2.3

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$| y | = e^{C} | 1 + 0 + x^{3} |$

Étape 4.5.3.2.1.2.2.4

Additionnez $1$ et $0$ .

$| y | = e^{C} | 1 + x^{3} |$

Étape 4.5.4

Résolvez $y$ .

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Étape 4.5.4.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{C} | 1 + x^{3} |$ .

$| y | = | 1 + x^{3} | e^{C}$

Étape 4.5.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | 1 + x^{3} | e^{C}$

Étape 5

Regroupez les termes constants.

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Étape 5.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \pm | 1 + x^{3} | C$

Étape 5.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C | 1 + x^{3} |$