Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = e^{20 x} + 4 x - 24$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = (e^{20 x} + 4 x - 24) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int e^{20 x} + 4 x - 24 d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int e^{20 x} + 4 x - 24 d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int e^{20 x} d x + \int 4 x d x + \int - 24 d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u = 20 x$ . Alors $d u = 20 d x$ , donc $\frac{1}{20} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u = 20 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $20 x$ .

$\frac{d}{d x} [20 x]$

Étape 2.3.2.1.2

Comme $20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $20 x$ par rapport à $x$ est $20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$20 \cdot 1$

Étape 2.3.2.1.4

Multipliez $20$ par $1$ .

$20$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{20} d u + \int 4 x d x + \int - 24 d x$

Étape 2.3.3

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{20}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{20} d u + \int 4 x d x + \int - 24 d x$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{20}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{20}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{20} \int e^{u} d u + \int 4 x d x + \int - 24 d x$

Étape 2.3.5

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{20} (e^{u} + C_{2}) + \int 4 x d x + \int - 24 d x$

Étape 2.3.6

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{20} (e^{u} + C_{2}) + 4 \int x d x + \int - 24 d x$

Étape 2.3.7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{20} (e^{u} + C_{2}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int - 24 d x$

Étape 2.3.8

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \frac{1}{20} (e^{u} + C_{2}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) - 24 x + C_{4}$

Étape 2.3.9

Simplifiez

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Étape 2.3.9.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{20} (e^{u} + C_{2}) + 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) - 24 x + C_{4}$

Étape 2.3.9.2

Simplifiez

$y + C_{1} = \frac{e^{u}}{20} + 2 x^{2} - 24 x + C_{5}$

Étape 2.3.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $20 x$ .

$y + C_{1} = \frac{e^{20 x}}{20} + 2 x^{2} - 24 x + C_{5}$

Étape 2.3.11

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = \frac{1}{20} e^{20 x} + 2 x^{2} - 24 x + C_{5}$

Étape 2.3.12

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = 2 x^{2} + \frac{1}{20} e^{20 x} - 24 x + C_{5}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = 2 x^{2} + \frac{1}{20} e^{20 x} - 24 x + K$