Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = x - 2$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Factorisez $y$ à partir de $- \frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{x}) = x - 2$

Étape 1.2

Remettez dans l’ordre $y$ et $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = x - 2$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - \frac{1}{x}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2

Intégrez $- \frac{1}{x}$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Étape 2.2.3

Simplifiez

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- \ln (x)}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Étape 2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x^{- 1}$

Étape 2.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\frac{1}{x}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Étape 3.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Étape 3.2.3

Associez $\frac{1}{x}$ et $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Étape 3.2.4

Multipliez $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

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Étape 3.2.4.1

Multipliez $\frac{y}{x}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Étape 3.2.4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Étape 3.2.4.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Étape 3.2.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Étape 3.2.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Étape 3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 1 + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Étape 3.3.2

Associez $\frac{1}{x}$ et $- 2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 1 + \frac{- 2}{x}$

Étape 3.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 1 - \frac{2}{x}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = 1 - \frac{2}{x}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int 1 - \frac{2}{x} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$\frac{1}{x} y = \int 1 - \frac{2}{x} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{x} y = \int d x + \int - \frac{2}{x} d x$

Étape 7.2

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{x} y = x + C + \int - \frac{2}{x} d x$

Étape 7.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{x} y = x + C - \int \frac{2}{x} d x$

Étape 7.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{x} y = x + C - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

Étape 7.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = x + C - 2 \int \frac{1}{x} d x$

Étape 7.6

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{x} y = x + C - 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 7.7

Simplifiez

$\frac{1}{x} y = x - 2 \ln (| x |) + C$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $y$ .

$\frac{y}{x} = x - 2 \ln (| x |) + C$

Étape 8.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1

Simplifiez $- 2 \ln (| x |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{y}{x} = x - \ln ({| x |}^{2}) + C$

Étape 8.2.2

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\frac{y}{x} = x - \ln (x^{2}) + C$

Étape 8.3

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{y}{x} x = (x - \ln (x^{2}) + C) x$

Étape 8.4

Simplifiez

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Étape 8.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.4.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x} x = (x - \ln (x^{2}) + C) x$

Étape 8.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = (x - \ln (x^{2}) + C) x$

Étape 8.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.4.2.1

Simplifiez $(x - \ln (x^{2}) + C) x$ .

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Étape 8.4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = x \cdot x - \ln (x^{2}) x + C x$

Étape 8.4.2.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.4.2.1.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = x^{2} - \ln (x^{2}) x + C x$

Étape 8.4.2.1.2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x^{2} - \ln (x^{2}) x + C x$ .

$y = x^{2} - x \ln (x^{2}) + C x$

Étape 8.4.2.1.2.3

Déplacez $- x \ln (x^{2})$ .

$y = x^{2} + C x - x \ln (x^{2})$