Calcul infinitésimal Exemples

$(x + 1) \frac{d y}{d x} - y = e^{x} {(x + 1)}^{2}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $(x + 1) \frac{d y}{d x} - y = e^{x} {(x + 1)}^{2}$ par $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1} = \frac{e^{x} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1} = \frac{e^{x} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Étape 1.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x + 1} = \frac{e^{x} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun à ${(x + 1)}^{2}$ et $x + 1$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $x + 1$ à partir de $e^{x} {(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x + 1} = \frac{(x + 1) (e^{x} (x + 1))}{x + 1}$

Étape 1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x + 1} = \frac{(x + 1) (e^{x} (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Étape 1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x + 1} = \frac{(x + 1) (e^{x} (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Étape 1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x + 1} = \frac{e^{x} (x + 1)}{1}$

Étape 1.3.2.4

Divisez $e^{x} (x + 1)$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x + 1} = e^{x} (x + 1)$

Étape 1.4

Factorisez $y$ à partir de $\frac{- y}{x + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{x + 1} = e^{x} (x + 1)$

Étape 1.5

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{- 1}{x + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{x + 1} y = e^{x} (x + 1)$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{- 1}{x + 1}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{- 1}{x + 1} d x}$

Étape 2.2

Intégrez $\frac{- 1}{x + 1}$ .

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Étape 2.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{\int - \frac{1}{x + 1} d x}$

Étape 2.2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \int \frac{1}{x + 1} d x}$

Étape 2.2.3

Laissez $u = x + 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.3.1

Laissez $u = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.2.3.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 2.2.3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.3.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.2.3.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2.3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$e^{- \ln (| u |) + C}$

Étape 2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$e^{- \ln (| x + 1 |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- \ln (x + 1)}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln ({(x + 1)}^{- 1})}$

Étape 2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

${(x + 1)}^{- 1}$

Étape 2.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x + 1}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\frac{1}{x + 1}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{x + 1} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x + 1} (\frac{- 1}{x + 1} y) = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{1}{x + 1}$ et $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} (\frac{- 1}{x + 1} y) = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Étape 3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} (- \frac{1}{x + 1} y) = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Étape 3.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} (\frac{1}{x + 1} y) = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Étape 3.2.4

Associez $\frac{1}{x + 1}$ et $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{y}{x + 1} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Étape 3.2.5

Multipliez $- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{y}{x + 1}$ .

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Étape 3.2.5.1

Multipliez $\frac{y}{x + 1}$ par $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} - \frac{y}{(x + 1) (x + 1)} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Étape 3.2.5.2

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} - \frac{y}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Étape 3.2.5.3

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} - \frac{y}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Étape 3.2.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} - \frac{y}{{(x + 1)}^{1 + 1}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Étape 3.2.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} - \frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Étape 3.3

Pour écrire $\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Étape 3.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun ${(x + 1)}^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.4.1

Multipliez $\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 1)}{(x + 1) (x + 1)} - \frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Étape 3.4.2

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)} - \frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Étape 3.4.3

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}} - \frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Étape 3.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{1 + 1}} - \frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Étape 3.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 1) - y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} \cdot 1 - y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Étape 3.6.2

Multipliez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} - y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Étape 3.7

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 3.7.1

Factorisez $x + 1$ à partir de $e^{x} (x + 1)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} - y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} ((x + 1) e^{x})$

Étape 3.7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} - y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} ((x + 1) e^{x})$

Étape 3.7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} - y}{{(x + 1)}^{2}} = e^{x}$

Étape 3.8

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} - y}{{(x + 1)}^{2}} = e^{x}$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} - y}{{(x + 1)}^{2}} = e^{x}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1} y] = e^{x}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1} y] d x = \int e^{x} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$\frac{1}{x + 1} y = \int e^{x} d x$

Étape 7

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$\frac{1}{x + 1} y = e^{x} + C$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{x + 1}$ et $y$ .

$\frac{y}{x + 1} = e^{x} + C$

Étape 8.2

Multipliez les deux côtés par $x + 1$ .

$\frac{y}{x + 1} (x + 1) = (e^{x} + C) (x + 1)$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 8.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x + 1} (x + 1) = (e^{x} + C) (x + 1)$

Étape 8.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = (e^{x} + C) (x + 1)$

Étape 8.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.2.1

Simplifiez $(e^{x} + C) (x + 1)$ .

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Étape 8.3.2.1.1

Développez $(e^{x} + C) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 8.3.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = e^{x} (x + 1) + C (x + 1)$

Étape 8.3.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = e^{x} x + e^{x} \cdot 1 + C (x + 1)$

Étape 8.3.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = e^{x} x + e^{x} \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Étape 8.3.2.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 8.3.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.2.1.2.1.1

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$y = e^{x} x + e^{x} + C x + C \cdot 1$

Étape 8.3.2.1.2.1.2

Multipliez $C$ par $1$ .

$y = e^{x} x + e^{x} + C x + C$

Étape 8.3.2.1.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.3.2.1.2.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x + e^{x} + C x + C$ .

$y = x e^{x} + e^{x} + C x + C$

Étape 8.3.2.1.2.2.2

Déplacez $e^{x}$ .

$y = x e^{x} + C x + C + e^{x}$

Étape 8.3.2.1.2.2.3

Déplacez $x e^{x}$ .

$y = C x + C + x e^{x} + e^{x}$