Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = - 0.3 y$ , $y (0) = 50$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- 0.3 y)$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - 0.3 \frac{1}{y} y$

Étape 1.2.2

Associez $- 0.3$ et $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 0.3}{y} y$

Étape 1.2.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 0.3}{y} y$

Étape 1.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - 0.3$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y} d y = - 0.3 d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - 0.3 d x$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - 0.3 d x$

Étape 2.3

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 0.3 x + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = - 0.3 x + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- 0.3 x + C}$

Étape 3.2

Réécrivez $\ln (| y |) = - 0.3 x + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- 0.3 x + C} = | y |$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $| y | = e^{- 0.3 x + C}$ .

$| y | = e^{- 0.3 x + C}$

Étape 3.3.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- 0.3 x + C}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Réécrivez $e^{- 0.3 x + C}$ comme $e^{- 0.3 x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- 0.3 x} e^{C}$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{- 0.3 x}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- 0.3 x}$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C e^{- 0.3 x}$

Étape 5

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $50$ dans $y = C e^{- 0.3 x}$ .

$50 = C e^{- 0.3 \cdot 0}$

Étape 6

Résolvez $C$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $C e^{- 0.3 \cdot 0} = 50$ .

$C e^{- 0.3 \cdot 0} = 50$

Étape 6.2

Simplifiez $C e^{- 0.3 \cdot 0}$ .

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Étape 6.2.1

Multipliez $- 0.3$ par $0$ .

$C e^{0} = 50$

Étape 6.2.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$C \cdot 1 = 50$

Étape 6.2.3

Multipliez $C$ par $1$ .

$C = 50$

Étape 7

Remplacez $C$ par $50$ dans $y = C e^{- 0.3 x}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Remplacez $C$ par $50$ .

$y = 50 e^{- 0.3 x}$