Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} y = g (x)$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle.

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} y = y$

Étape 2

Séparez les variables.

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Étape 2.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.1.1

Simplifiez $\frac{d y}{d x} - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} y$ .

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Étape 2.1.1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1.1.1

Séparez les fractions.

$\frac{d y}{d x} - (\frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) y = y$

Étape 2.1.1.1.1.2

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} - (\frac{2}{1} \cot (x)) y = y$

Étape 2.1.1.1.1.3

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} - (2 \cot (x)) y = y$

Étape 2.1.1.1.1.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} - 2 \cot (x) y = y$

Étape 2.1.1.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{d y}{d x} - 2 \cot (x) y$ .

$\frac{d y}{d x} - 2 y \cot (x) = y$

Étape 2.1.2

Ajoutez $2 y \cot (x)$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} = y + 2 y \cot (x)$

Étape 2.2

Factorisez $y$ à partir de $y + 2 y \cot (x)$ .

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Étape 2.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y^{1} + 2 y \cot (x)$

Étape 2.2.2

Factorisez $y$ à partir de $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = y \cdot 1 + 2 y \cot (x)$

Étape 2.2.3

Factorisez $y$ à partir de $2 y \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = y \cdot 1 + y (2 \cot (x))$

Étape 2.2.4

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot 1 + y (2 \cot (x))$ .

$\frac{d y}{d x} = y (1 + 2 \cot (x))$

Étape 2.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (1 + 2 \cot (x)))$

Étape 2.4

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (1 + 2 \cot (x)))$

Étape 2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 1 + 2 \cot (x)$

Étape 2.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y} d y = (1 + 2 \cot (x)) d x$

Étape 3

Intégrez les deux côtés.

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Étape 3.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 1 + 2 \cot (x) d x$

Étape 3.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 + 2 \cot (x) d x$

Étape 3.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int 2 \cot (x) d x$

Étape 3.3.2

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int 2 \cot (x) d x$

Étape 3.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + 2 \int \cot (x) d x$

Étape 3.3.4

L’intégrale de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $\ln (| \sin (x) |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + 2 (\ln (| \sin (x) |) + C_{3})$

Étape 3.3.5

Simplifiez

$\ln (| y |) + C_{1} = x + 2 \ln (| \sin (x) |) + C_{4}$

Étape 3.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = x + 2 \ln (| \sin (x) |) + C$

Étape 4

Résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y |) - 2 \ln (| \sin (x) |) = x + C$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $\ln (| y |) - 2 \ln (| \sin (x) |)$ .

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Étape 4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1.1

Simplifiez $- 2 \ln (| \sin (x) |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln (| y |) - \ln ({| \sin (x) |}^{2}) = x + C$

Étape 4.2.1.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| \sin (x) |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\ln (| y |) - \ln (\sin^{2} (x)) = x + C$

Étape 4.2.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{\sin^{2} (x)}) = x + C$

Étape 4.2.1.3

Multipliez par $1$ .

$\ln (\frac{| y |}{\sin^{2} (x) \cdot 1}) = x + C$

Étape 4.2.1.4

Séparez les fractions.

$\ln (\frac{| y |}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)}) = x + C$

Étape 4.2.1.5

Convertissez de $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ à $\csc^{2} (x)$ .

$\ln (\frac{| y |}{1} \csc^{2} (x)) = x + C$

Étape 4.2.1.6

Divisez $| y |$ par $1$ .

$\ln (| y | \csc^{2} (x)) = x + C$

Étape 4.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y | \csc^{2} (x))} = e^{x + C}$

Étape 4.4

Réécrivez $\ln (| y | \csc^{2} (x)) = x + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{x + C} = | y | \csc^{2} (x)$

Étape 4.5

Résolvez $y$ .

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Étape 4.5.1

Réécrivez l’équation comme $| y | \csc^{2} (x) = e^{x + C}$ .

$| y | \csc^{2} (x) = e^{x + C}$

Étape 4.5.2

Divisez chaque terme dans $| y | \csc^{2} (x) = e^{x + C}$ par $\csc^{2} (x)$ et simplifiez.

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Étape 4.5.2.1

Divisez chaque terme dans $| y | \csc^{2} (x) = e^{x + C}$ par $\csc^{2} (x)$ .

$\frac{| y | \csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x)} = \frac{e^{x + C}}{\csc^{2} (x)}$

Étape 4.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $\csc^{2} (x)$ .

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Étape 4.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| y | \csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x)} = \frac{e^{x + C}}{\csc^{2} (x)}$

Étape 4.5.2.2.1.2

Divisez $| y |$ par $1$ .

$| y | = \frac{e^{x + C}}{\csc^{2} (x)}$

Étape 4.5.3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{e^{x + C}}{\csc^{2} (x)}$

Étape 5

Regroupez les termes constants.

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Étape 5.1

Réécrivez $e^{x + C}$ comme $e^{x} e^{C}$ .

$y = \pm \frac{e^{x} e^{C}}{\csc^{2} (x)}$

Étape 5.2

Remettez dans l’ordre $e^{x}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm \frac{e^{C} e^{x}}{\csc^{2} (x)}$

Étape 5.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C \frac{C e^{x}}{\csc^{2} (x)}$