Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(x y)}^{2}}$ , $y (1) = 3$

Étape 1

Séparez les variables.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Appliquez la règle de produit à $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2} y^{2}}$

Étape 1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{y^{2}})$

Étape 1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Associez.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 \cdot 1}{x^{2} y^{2}}$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $x^{2} y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 \cdot 1}{y^{2} x^{2}}$

Étape 1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 \cdot 1}{y^{2} x^{2}}$

Étape 1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 1.4.3

Multipliez $1$ par $1$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$y^{2} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y^{2} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 2.3.1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 2.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

Étape 2.3.3

Réécrivez $- x^{- 1} + C_{2}$ comme $- \frac{1}{x} + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{x} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{x} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Simplifiez $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{x} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{x} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{x} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Simplifiez $3 (- \frac{1}{x} + K)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{x}) + 3 K$

Étape 3.2.2.1.2

Multipliez $3 (- \frac{1}{x})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y^{3} = - 3 \frac{1}{x} + 3 K$

Étape 3.2.2.1.2.2

Associez $- 3$ et $\frac{1}{x}$ .

$y^{3} = \frac{- 3}{x} + 3 K$

Étape 3.2.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{3} = - \frac{3}{x} + 3 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{- \frac{3}{x} + 3 K}$

Étape 3.4

Simplifiez $\sqrt[3]{- \frac{3}{x} + 3 K}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Factorisez $3$ à partir de $- \frac{3}{x} + 3 K$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- \frac{3}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{x}) + 3 K}$

Étape 3.4.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{x}) + 3 K}$

Étape 3.4.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (- \frac{1}{x}) + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{x} + K)}$

Étape 3.4.2

Pour écrire $K$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{x} + \frac{K x}{x})}$

Étape 3.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{- 1 + K x}{x}}$

Étape 3.4.4

Associez $3$ et $\frac{- 1 + K x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (- 1 + K x)}{x}}$

Étape 3.4.5

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{3 (- 1 + K x)}{x}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$

Étape 3.4.6

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Étape 3.4.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.7.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Étape 3.4.7.2

Élevez $\sqrt[3]{x}$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Étape 3.4.7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

Étape 3.4.7.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Étape 3.4.7.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ comme $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.7.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 3.4.7.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 3.4.7.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.4.7.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.7.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.4.7.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{1}}$

Étape 3.4.7.5.5

Simplifiez

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x}$

Étape 3.4.8

Réécrivez ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$

Étape 3.4.9

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x) x^{2}}}{x}$

Étape 3.4.10

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x) x^{2}}}{x}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (- 1 + K x)}}{x}$

Étape 4

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $1$ et $y$ par $3$ dans $y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (- 1 + K x)}}{x}$ .

$3 = \frac{\sqrt[3]{3 \cdot 1^{2} (- 1 + K \cdot 1)}}{1}$

Étape 5

Résolvez $K$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))}}{1} = 3$ .

$\frac{\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))}}{1} = 3$

Étape 5.2

Divisez $\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))}$ par $1$ .

$\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))} = 3$

Étape 5.3

Résolvez $K$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))}}^{3} = 3^{3}$

Étape 5.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))}$ comme ${(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 3^{3}$

Étape 5.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.2.1

Simplifiez ${({(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.2.1.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 3^{3}$

Étape 5.3.2.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 3^{3}$

Étape 5.3.2.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{1} = 3^{3}$

Étape 5.3.2.2.1.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

${(3 \cdot (1 (- 1 + K \cdot 1)))}^{1} = 3^{3}$

Étape 5.3.2.2.1.1.3

Multipliez $- 1 + K \cdot 1$ par $1$ .

${(3 \cdot (- 1 + K \cdot 1))}^{1} = 3^{3}$

Étape 5.3.2.2.1.1.4

Multipliez $K$ par $1$ .

${(3 \cdot (- 1 + K))}^{1} = 3^{3}$

Étape 5.3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

${(3 \cdot - 1 + 3 K)}^{1} = 3^{3}$

Étape 5.3.2.2.1.3

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.2.1.3.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

${(- 3 + 3 K)}^{1} = 3^{3}$

Étape 5.3.2.2.1.3.2

Simplifiez

$- 3 + 3 K = 3^{3}$

Étape 5.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.3.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$- 3 + 3 K = 27$

Étape 5.3.3

Résolvez $K$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$3 K = 27 + 3$

Étape 5.3.3.1.2

Additionnez $27$ et $3$ .

$3 K = 30$

Étape 5.3.3.2

Divisez chaque terme dans $3 K = 30$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $3 K = 30$ par $3$ .

$\frac{3 K}{3} = \frac{30}{3}$

Étape 5.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 K}{3} = \frac{30}{3}$

Étape 5.3.3.2.2.1.2

Divisez $K$ par $1$ .

$K = \frac{30}{3}$

Étape 5.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.2.3.1

Divisez $30$ par $3$ .

$K = 10$

Étape 6

Remplacez $K$ par $10$ dans $y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (- 1 + K x)}}{x}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez $K$ par $10$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (- 1 + 10 x)}}{x}$