Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x + 1}{3 y}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x + 1}{3 y}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $3 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x + 1}{y \cdot 3}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x + 1}{y \cdot 3}$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{2 x + 1}{3}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$y d y = \frac{2 x + 1}{3} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int \frac{2 x + 1}{3} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{2 x + 1}{3} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} \int 2 x + 1 d x$

Étape 2.3.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} (\int 2 x d x + \int d x)$

Étape 2.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} (2 \int x d x + \int d x)$

Étape 2.3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} (2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int d x)$

Étape 2.3.5

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} (2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + x + C_{3})$

Étape 2.3.6

Simplifiez

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Étape 2.3.6.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} (2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + x + C_{3})$

Étape 2.3.6.2

Simplifiez

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} (x^{2} + x) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{3} (x^{2} + x) + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{3} (x^{2} + x) + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{3} (x^{2} + x) + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{3} (x^{2} + x) + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{3} (x^{2} + x) + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{3} (x^{2} + x) + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{2} + \frac{1}{3} x + K)$

Étape 3.2.2.1.1.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{3} + \frac{1}{3} x + K)$

Étape 3.2.2.1.1.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $x$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{3} + \frac{x}{3} + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{3} + 2 \frac{x}{3} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1.3.1

Associez $2$ et $\frac{x^{2}}{3}$ .

$y^{2} = \frac{2 x^{2}}{3} + 2 \frac{x}{3} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.2

Associez $2$ et $\frac{x}{3}$ .

$y^{2} = \frac{2 x^{2}}{3} + \frac{2 x}{3} + 2 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{2}}{3} + \frac{2 x}{3} + 2 K}$

Étape 3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{2 x^{2}}{3} + \frac{2 x}{3} + 2 K}$ .

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Étape 3.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{2} + 2 x}{3} + 2 K}$

Étape 3.4.2

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{2} + 2 x$ .

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Étape 3.4.2.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x (x) + 2 x}{3} + 2 K}$

Étape 3.4.2.2

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x (x) + 2 x (1)}{3} + 2 K}$

Étape 3.4.2.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (x) + 2 x (1)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x (x + 1)}{3} + 2 K}$

Étape 3.4.3

Pour écrire $2 K$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x (x + 1)}{3} + 2 K \cdot \frac{3}{3}}$

Étape 3.4.4

Simplifiez les termes.

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Étape 3.4.4.1

Associez $2 K$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x (x + 1)}{3} + \frac{2 K \cdot 3}{3}}$

Étape 3.4.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x (x + 1) + 2 K \cdot 3}{3}}$

Étape 3.4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x (x + 1) + 2 K \cdot 3$ .

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Étape 3.4.5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x (x + 1)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x (x + 1)) + 2 K \cdot 3}{3}}$

Étape 3.4.5.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 K \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x (x + 1)) + 2 (K \cdot 3)}{3}}$

Étape 3.4.5.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x (x + 1)) + 2 (K \cdot 3)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x (x + 1) + K \cdot 3)}{3}}$

Étape 3.4.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x \cdot x + x \cdot 1 + K \cdot 3)}{3}}$

Étape 3.4.5.3

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x^{2} + x \cdot 1 + K \cdot 3)}{3}}$

Étape 3.4.5.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x^{2} + x + K \cdot 3)}{3}}$

Étape 3.4.5.5

Déplacez $3$ à gauche de $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x^{2} + x + 3 K)}{3}}$

Étape 3.4.6

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 (x^{2} + x + 3 K)}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)}}{\sqrt{3}}$

Étape 3.4.7

Multipliez $\frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 3.4.8

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.8.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 3.4.8.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 3.4.8.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 3.4.8.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 3.4.8.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 3.4.8.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 3.4.8.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.4.8.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.4.8.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.8.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.8.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.8.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 3.4.8.6.5

Évaluez l’exposant.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{3}$

Étape 3.4.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.9.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K) \cdot 3}}{3}$

Étape 3.4.9.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + 3 K)}}{3}$

Étape 3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + 3 K)}}{3}$

Étape 3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + 3 K)}}{3}$

Étape 3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + 3 K)}}{3}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + K)}}{3}$