Calcul infinitésimal Exemples

$(5 x + 3 e^{y}) d x + 2 x e^{y} d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 5 x + 3 e^{y}$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [5 x + 3 e^{y}]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x + 3 e^{y}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [3 e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [3 e^{y}]$

Étape 1.2.2

Comme $5 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [3 e^{y}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [3 e^{y}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 e^{y}$ par rapport à $y$ est $3 \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ est $a^{y} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 e^{y}$

Étape 1.4

Additionnez $0$ et $3 e^{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{y}$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 2 x e^{y}$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x e^{y}]$

Étape 2.2

Comme $2 e^{y}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x e^{y}$ par rapport à $x$ est $2 e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{y} \cdot 1$

Étape 2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{y}$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $3 e^{y}$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 e^{y}$ .

$3 e^{y} = 2 e^{y}$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$3 e^{y} = 2 e^{y}$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $3 e^{y}$ .

$\frac{3 e^{y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 e^{y}$ .

$\frac{3 e^{y} - (2 e^{y})}{N}$

Étape 4.3

Remplacez $N$ par $2 x e^{y}$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $N$ par $2 x e^{y}$ .

$\frac{3 e^{y} - (2 e^{y})}{2 x e^{y}}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $e^{y}$ à partir de $3 e^{y} - 1 \cdot 2 e^{y}$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Factorisez $e^{y}$ à partir de $3 e^{y}$ .

$\frac{e^{y} \cdot 3 - 1 \cdot 2 e^{y}}{2 x e^{y}}$

Étape 4.3.2.1.2

Factorisez $e^{y}$ à partir de $- 1 \cdot 2 e^{y}$ .

$\frac{e^{y} \cdot 3 + e^{y} (- 1 \cdot 2)}{2 x e^{y}}$

Étape 4.3.2.1.3

Factorisez $e^{y}$ à partir de $e^{y} \cdot 3 + e^{y} (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{e^{y} (3 - 1 \cdot 2)}{2 x e^{y}}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{e^{y} (3 - 2)}{2 x e^{y}}$

Étape 4.3.2.3

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{e^{y} \cdot 1}{2 x e^{y}}$

Étape 4.3.3

Multipliez $e^{y}$ par $1$ .

$\frac{e^{y}}{2 x e^{y}}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun de $e^{y}$ .

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Étape 4.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{y}}{2 x e^{y}}$

Étape 4.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 x}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{2 x} d x}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int \frac{1}{2 x} d x}$ .

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Étape 5.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 5.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C)}$

Étape 5.3

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{\frac{1}{2} \ln (| x |)} + C$

Étape 5.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})} + C$

Étape 5.4.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $(5 x + 3 e^{y}) d x + 2 x e^{y} d y = 0$ par le facteur d’intégration $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $5 x + 3 e^{y}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(5 x + 3 e^{y}) x^{\frac{1}{2}} d x + 2 x e^{y} d y = 0$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$(5 x \cdot x^{\frac{1}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 x e^{y} d y = 0$

Étape 6.3

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(5 (x^{\frac{1}{2}} x) + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 x e^{y} d y = 0$

Étape 6.3.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x$ .

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Étape 6.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(5 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 x e^{y} d y = 0$

Étape 6.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(5 x^{\frac{1}{2} + 1} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 x e^{y} d y = 0$

Étape 6.3.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$(5 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 x e^{y} d y = 0$

Étape 6.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$(5 x^{\frac{1 + 2}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 x e^{y} d y = 0$

Étape 6.3.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$(5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 x e^{y} d y = 0$

Étape 6.4

Multipliez $2 x e^{y}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 x e^{y} x^{\frac{1}{2}} d y = 0$

Étape 6.5

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.5.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 (x^{\frac{1}{2}} x) e^{y} d y = 0$

Étape 6.5.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x$ .

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Étape 6.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) e^{y} d y = 0$

Étape 6.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 x^{\frac{1}{2} + 1} e^{y} d y = 0$

Étape 6.5.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$(5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} e^{y} d y = 0$

Étape 6.5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$(5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 x^{\frac{1 + 2}{2}} e^{y} d y = 0$

Étape 6.5.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$(5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 x^{\frac{3}{2}} e^{y} d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x^{\frac{3}{2}} e^{y} d y$

Étape 8

Intégrez $N (x, y) = 2 x^{\frac{3}{2}} e^{y}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Comme $2 x^{\frac{3}{2}}$ est constant par rapport à $y$ , placez $2 x^{\frac{3}{2}}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 2 x^{\frac{3}{2}} \int e^{y} d y$

Étape 8.2

L’intégrale de $e^{y}$ par rapport à $y$ est $e^{y}$ .

$f (x, y) = 2 x^{\frac{3}{2}} (e^{y} + C)$

Étape 8.3

Simplifiez

$f (x, y) = 2 x^{\frac{3}{2}} e^{y} + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = 2 x^{\frac{3}{2}} e^{y} + g (x)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{2}} e^{y} + g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{\frac{3}{2}} e^{y} + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{2}} e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{2}} e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{2}} e^{y}]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $2 e^{y}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{\frac{3}{2}} e^{y}$ par rapport à $x$ est $2 e^{y} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$2 e^{y} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Étape 11.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$2 e^{y} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Étape 11.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 e^{y} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Étape 11.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 e^{y} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Étape 11.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 e^{y} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Étape 11.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 e^{y} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Étape 11.3.6.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$2 e^{y} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Étape 11.3.7

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 e^{y} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Étape 11.3.8

Associez $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ et $2$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} e^{y} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Étape 11.3.9

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{2} e^{y} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Étape 11.3.10

Associez $\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ et $e^{y}$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}} e^{y}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Étape 11.3.11

Factorisez $2$ à partir de $6 x^{\frac{1}{2}} e^{y}$ .

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}} e^{y})}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Étape 11.3.12

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.3.12.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}} e^{y})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Étape 11.3.12.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}} e^{y})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Étape 11.3.12.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} e^{y}}{1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Étape 11.3.12.4

Divisez $3 x^{\frac{1}{2}} e^{y}$ par $1$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{y} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{y} + \frac{d g}{d x} = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Étape 11.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}} = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1.1

Déterminez un facteur commun $x^{\frac{3}{2}}$ présent dans chaque terme.

${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} + 3 {(e x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}} - 5 x^{\frac{3}{2}} - 3 {(e x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}}$

Étape 12.1.2

Remplacez $x^{\frac{3}{2}}$ par $u$ .

${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} + 3 {(e (u))}^{\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}} - 5 u - 3 {(e (u))}^{\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}} = 0$

Étape 12.1.3

Résolvez $u$ .

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Étape 12.1.3.1

Simplifiez ${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} + 3 {(e u)}^{\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}} - 5 u - 3 {(e u)}^{\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}}$ .

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Étape 12.1.3.1.1

Associez les termes opposés dans ${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} + 3 {(e u)}^{\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}} - 5 u - 3 {(e u)}^{\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}}$ .

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Étape 12.1.3.1.1.1

Soustrayez $3 {(e u)}^{\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}}$ de $3 {(e u)}^{\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}}$ .

${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} - 5 u + 0 = 0$

Étape 12.1.3.1.1.2

Additionnez ${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} - 5 u$ et $0$ .

${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} - 5 u = 0$

Étape 12.1.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.3.1.2.1

Multipliez les exposants dans ${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 12.1.3.1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{d g}{d x})}^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} - 5 u = 0$

Étape 12.1.3.1.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 12.1.3.1.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(\frac{d g}{d x})}^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} - 5 u = 0$

Étape 12.1.3.1.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(\frac{d g}{d x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 5 u = 0$

Étape 12.1.3.1.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.1.3.1.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

${(\frac{d g}{d x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 5 u = 0$

Étape 12.1.3.1.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

${(\frac{d g}{d x})}^{1} - 5 u = 0$

Étape 12.1.3.1.2.2

Simplifiez

$\frac{d g}{d x} - 5 u = 0$

Étape 12.1.3.2

Soustrayez $\frac{d g}{d x}$ des deux côtés de l’équation.

$- 5 u = - \frac{d g}{d x}$

Étape 12.1.3.3

Divisez chaque terme dans $- 5 u = - \frac{d g}{d x}$ par $- 5$ et simplifiez.

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Étape 12.1.3.3.1

Divisez chaque terme dans $- 5 u = - \frac{d g}{d x}$ par $- 5$ .

$\frac{- 5 u}{- 5} = \frac{- \frac{d g}{d x}}{- 5}$

Étape 12.1.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 12.1.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 5$ .

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Étape 12.1.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 5 u}{- 5} = \frac{- \frac{d g}{d x}}{- 5}$

Étape 12.1.3.3.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{- \frac{d g}{d x}}{- 5}$

Étape 12.1.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.1.3.3.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$u = \frac{\frac{d g}{d x}}{5}$

Étape 12.1.4

Remplacez $u$ par $\frac{d g}{d x}$ .

$x^{\frac{3}{2}} = \frac{\frac{d g}{d x}}{5}$

Étape 13

Déterminez la primitive de $\frac{\frac{d g}{d x}}{5}$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $x^{\frac{3}{2}} = \frac{\frac{d g}{d x}}{5}$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} d x = \int \frac{\frac{d g}{d x}}{5} d x$

Étape 13.2

Évaluez $\int x^{\frac{3}{2}} d x$ .

$g (x) = \int \frac{\frac{d g}{d x}}{5} d x$

Étape 13.3

Appliquez la règle de la constante.

$g (x) = \frac{\frac{d g}{d x}}{5} x + C$

Étape 14

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = 2 x^{\frac{3}{2}} e^{y} + g (x)$ .

$f (x, y) = 2 x^{\frac{3}{2}} e^{y} + \frac{\frac{d g}{d x}}{5} x + C$

Étape 15

Simplifiez $f (x, y) = 2 x^{\frac{3}{2}} e^{y} + \frac{\frac{d g}{d x}}{5} x + C$ .

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Étape 15.1

Associez $\frac{\frac{d g}{d x}}{5}$ et $x$ .

$f (x, y) = 2 x^{\frac{3}{2}} e^{y} + \frac{\frac{d g}{d x} x}{5} + C$

Étape 15.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $f (x, y) = 2 x^{\frac{3}{2}} e^{y} + \frac{\frac{d g}{d x} x}{5} + C$ .

$f (x, y) = 2 x^{\frac{3}{2}} e^{y} + \frac{x \frac{d g}{d x}}{5} + C$