Calcul infinitésimal Exemples

$y (1 + x y) d x + (2 y - x) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = y (1 + x y)$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (1 + x y)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = y$ et $g (y) = 1 + x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [1 + x y] + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x y]) + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [x y]) + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d y} [x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [x y] + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.4

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x y$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (x \frac{d}{d y} [y]) + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (x \cdot 1) + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.6

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y x + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y x + (1 + x y) \cdot 1$

Étape 1.3.8

Multipliez $1 + x y$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y x + 1 + x y$

Étape 1.4

Additionnez $y x$ et $x y$ .

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Étape 1.4.1

Remettez dans l’ordre $y$ et $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x y + x y + 1$

Étape 1.4.2

Additionnez $x y$ et $x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 1$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 2 y - x$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y - x]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 y - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.2.2

Comme $2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1 \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1$

Étape 2.4

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 x y + 1$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 1$ .

$2 x y + 1 = - 1$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$2 x y + 1 = - 1$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 1$ .

$\frac{- 1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 x y + 1$ .

$\frac{- 1 - (2 x y + 1)}{M}$

Étape 4.3

Remplacez $M$ par $y (1 + x y)$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $M$ par $y (1 + x y)$ .

$\frac{- 1 - (2 x y + 1)}{y (1 + x y)}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 - (2 x y + 1)$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Remettez dans l’ordre $- 1$ et $- (2 x y + 1)$ .

$\frac{- (2 x y + 1) - 1}{y (1 + x y)}$

Étape 4.3.2.1.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x y + 1) - 1 (1)}{y (1 + x y)}$

Étape 4.3.2.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x y + 1) - 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x y + 1 + 1)}{y (1 + x y)}$

Étape 4.3.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- (2 x y + 2)}{y (1 + x y)}$

Étape 4.3.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x y + 2$ .

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Étape 4.3.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x y$ .

$\frac{- (2 (x y) + 2)}{y (1 + x y)}$

Étape 4.3.2.3.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{- (2 (x y) + 2 (1))}{y (1 + x y)}$

Étape 4.3.2.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x y) + 2 (1)$ .

$\frac{- (2 (x y + 1))}{y (1 + x y)}$

$\frac{- 1 \cdot 2 (x y + 1)}{y (1 + x y)}$

Étape 4.3.2.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2 (x y + 1)}{y (1 + x y)}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun à $x y + 1$ et $1 + x y$ .

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Étape 4.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 2 (x y + 1)}{y (x y + 1)}$

Étape 4.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 (x y + 1)}{y (x y + 1)}$

Étape 4.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2}{y}$

Étape 4.3.4

Remplacez $M$ par $y (1 + x y)$ .

$- \frac{2}{y}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Étape 5.2

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Étape 5.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Étape 5.4

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Étape 5.5

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Étape 5.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.1

Simplifiez $- 2 \ln (| y |)$ en déplaçant $- 2$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Étape 5.6.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Étape 5.6.3

Retirez la valeur absolue dans ${| y |}^{- 2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Étape 5.6.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $y (1 + x y) d x + (2 y - x) d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{y^{2}}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $y (1 + x y)$ par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$y (1 + x y) \frac{1}{y^{2}} d x + (2 y - x) d y = 0$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$y (1 + x y) \frac{1}{y \cdot y} d x + (2 y - x) d y = 0$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun.

$y (1 + x y) \frac{1}{y \cdot y} d x + (2 y - x) d y = 0$

Étape 6.2.3

Réécrivez l’expression.

$(1 + x y) \frac{1}{y} d x + (2 y - x) d y = 0$

Étape 6.3

Multipliez $1 + x y$ par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (2 y - x) d y = 0$

Étape 6.4

Multipliez $2 y - x$ par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (2 y - x) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Étape 6.5

Multipliez $2 y - x$ par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + \frac{2 y - x}{y^{2}} d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1 + x y}{y} d x$

Étape 8

Intégrez $M (x, y) = \frac{1 + x y}{y}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} + \frac{x y}{y} d x$

Étape 8.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int \frac{x y}{y} d x$

Étape 8.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 8.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int \frac{x y}{y} d x$

Étape 8.3.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int x d x$

Étape 8.4

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = \frac{1}{y} x + C + \int x d x$

Étape 8.5

Associez $\frac{1}{y}$ et $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C + \int x d x$

Étape 8.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 8.7

Simplifiez

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2 y - x}{y^{2}}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)] = \frac{2 y - x}{y^{2}}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y - x}{y^{2}}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{x}{y}$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y - x}{y^{2}}$

Étape 11.3.2

Réécrivez $\frac{1}{y}$ comme $y^{- 1}$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y - x}{y^{2}}$

Étape 11.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$x (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y - x}{y^{2}}$

Étape 11.4

Comme $\frac{1}{2} x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{1}{2} x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$x (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y - x}{y^{2}}$

Étape 11.5

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y - x}{y^{2}}$

Étape 11.6

Simplifiez

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Étape 11.6.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (- \frac{1}{y^{2}}) + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y - x}{y^{2}}$

Étape 11.6.2

Associez des termes.

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Étape 11.6.2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{x}{y^{2}} + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y - x}{y^{2}}$

Étape 11.6.2.2

Additionnez $- \frac{x}{y^{2}}$ et $0$ .

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y - x}{y^{2}}$

Étape 11.6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} = \frac{2 y - x}{y^{2}}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 12.1

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 12.1.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 12.1.1.1

Soustrayez $\frac{2 y - x}{y^{2}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} - \frac{2 y - x}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x - (2 y - x)}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x - (2 y) - - x}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x - 2 y - - x}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.3.3

Multipliez $- - x$ .

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Étape 12.1.1.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x - 2 y + 1 x}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.3.3.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x - 2 y + x}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.4

Associez les termes opposés dans $- x - 2 y + x$ .

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Étape 12.1.1.4.1

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 y + 0}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.4.2

Additionnez $- 2 y$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 y}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1.5.1

Annulez le facteur commun à $y$ et $y^{2}$ .

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Étape 12.1.1.5.1.1

Factorisez $y$ à partir de $- 2 y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 2}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.5.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.1.1.5.1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 2}{y \cdot y} = 0$

Étape 12.1.1.5.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 2}{y \cdot y} = 0$

Étape 12.1.1.5.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2}{y} = 0$

Étape 12.1.1.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d g}{d y} - \frac{2}{y} = 0$

Étape 12.1.2

Ajoutez $\frac{2}{y}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = \frac{2}{y}$

Étape 13

Déterminez la primitive de $\frac{2}{y}$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = \frac{2}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{2}{y} d y$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{2}{y} d y$

Étape 13.3

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = 2 \int \frac{1}{y} d y$

Étape 13.4

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$g (y) = 2 (\ln (| y |) + C)$

Étape 13.5

Simplifiez

$g (y) = 2 \ln (| y |) + C$

Étape 14

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| y |) + C$

Étape 15

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{x^{2}}{2} + 2 \ln (| y |) + C$

Étape 15.2

Simplifiez $2 \ln (| y |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{x^{2}}{2} + \ln ({| y |}^{2}) + C$

Étape 15.3

Retirez la valeur absolue dans ${| y |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{x^{2}}{2} + \ln (y^{2}) + C$