Calcul infinitésimal Exemples

$2 (2 x^{2} + y^{2}) d x - x (y d) y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 2 (2 x^{2} + y^{2})$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 (2 x^{2} + y^{2})]$

Étape 1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 (2 x^{2} + y^{2})$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [2 x^{2} + y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [2 x^{2} + y^{2}]$

Étape 1.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} + y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Étape 1.4

Comme $2 x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Étape 1.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 1.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 y)$

Étape 1.7

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = - x y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x y]$

Étape 2.2

Comme $- y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x y$ par rapport à $x$ est $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y \cdot 1$

Étape 2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $4 y$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- y$ .

$4 y = - y$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$4 y = - y$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $4 y$ .

$\frac{4 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- y$ .

$\frac{4 y - - y}{N}$

Étape 4.3

Remplacez $N$ par $- x y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $N$ par $- x y$ .

$\frac{4 y - - y}{- x y}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $4 y - - y$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Factorisez $y$ à partir de $4 y$ .

$\frac{y \cdot 4 - - y}{- x y}$

Étape 4.3.2.1.2

Factorisez $y$ à partir de $- - y$ .

$\frac{y \cdot 4 + y (- - 1)}{- x y}$

Étape 4.3.2.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot 4 + y (- - 1)$ .

$\frac{y (4 - - 1)}{- x y}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{y (4 + 1)}{- x y}$

Étape 4.3.2.3

Additionnez $4$ et $1$ .

$\frac{y \cdot 5}{- x y}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 4.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \cdot 5}{- x y}$

Étape 4.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{- x}$

Étape 4.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5}{x}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{5}{x} d x}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{5}{x} d x}$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{5}{x} d x}$

Étape 5.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (5 \int \frac{1}{x} d x)}$

Étape 5.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 5 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 5.4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 5 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 5.5

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- 5 \ln (| x |)} + C$

Étape 5.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.1

Simplifiez $- 5 \ln (| x |)$ en déplaçant $- 5$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 5})} + C$

Étape 5.6.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 5} + C$

Étape 5.6.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{5}} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $2 (2 x^{2} + y^{2}) d x - x y d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{x^{5}}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $2 (2 x^{2} + y^{2})$ par $\frac{1}{x^{5}}$ .

$2 (2 x^{2} + y^{2}) \frac{1}{x^{5}} d x - x y d y = 0$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$(2 (2 x^{2}) + 2 y^{2}) \frac{1}{x^{5}} d x - x y d y = 0$

Étape 6.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$(4 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{1}{x^{5}} d x - x y d y = 0$

Étape 6.4

Multipliez $4 x^{2} + 2 y^{2}$ par $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}} d x - x y d y = 0$

Étape 6.5

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{2} + 2 y^{2}$ .

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Étape 6.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{2}$ .

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 y^{2}}{x^{5}} d x - x y d y = 0$

Étape 6.5.2

Factorisez $2$ à partir de $2 y^{2}$ .

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 (y^{2})}{x^{5}} d x - x y d y = 0$

Étape 6.5.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{2}) + 2 (y^{2})$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}} d x - x y d y = 0$

Étape 6.6

Multipliez $- x y$ par $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}} d x - x y \frac{1}{x^{5}} d y = 0$

Étape 6.7

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.7.1

Factorisez $x$ à partir de $- x y$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}} d x + x (- 1 y) \frac{1}{x^{5}} d y = 0$

Étape 6.7.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{5}$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}} d x + x (- 1 y) \frac{1}{x \cdot x^{4}} d y = 0$

Étape 6.7.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}} d x + x (- 1 y) \frac{1}{x \cdot x^{4}} d y = 0$

Étape 6.7.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}} d x - 1 y \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Étape 6.8

Associez $\frac{1}{x^{4}}$ et $y$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}} d x - 1 \frac{y}{x^{4}} d y = 0$

Étape 6.9

Réécrivez $- 1 \frac{y}{x^{4}}$ comme $- \frac{y}{x^{4}}$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}} d x - \frac{y}{x^{4}} d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{y}{x^{4}} d y$

Étape 8

Intégrez $N (x, y) = - \frac{y}{x^{4}}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = - \int \frac{y}{x^{4}} d y$

Étape 8.2

Comme $\frac{1}{x^{4}}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{1}{x^{4}}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = - (\frac{1}{x^{4}} \int y d y)$

Étape 8.3

Supprimez les parenthèses.

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{4}} \int y d y$

Étape 8.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{4}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Étape 8.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.5.1

Réécrivez $- \frac{1}{x^{4}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ comme $- \frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

Étape 8.5.2

Simplifiez

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Étape 8.5.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2 x^{4}} y^{2} + C$

Étape 8.5.2.2

Associez $y^{2}$ et $\frac{1}{2 x^{4}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2 x^{4}} + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2 x^{4}} + g (x)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2 x^{4}} + g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{y^{2}}{2 x^{4}} + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2 x^{4}}]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $- \frac{y^{2}}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{y^{2}}{2 x^{4}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$- \frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Étape 11.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{4}}$ comme ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$- \frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Étape 11.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{4}$ .

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Étape 11.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{4}$ .

$- \frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Étape 11.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- \frac{y^{2}}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Étape 11.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{4}$ .

$- \frac{y^{2}}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Étape 11.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- \frac{y^{2}}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Étape 11.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Étape 11.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{y^{2}}{2} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Étape 11.3.5.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$- \frac{y^{2}}{2} (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Étape 11.3.6

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- \frac{y^{2}}{2} (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Étape 11.3.7

Multipliez $x^{- 8}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.3.7.1

Déplacez $x^{3}$ .

$- \frac{y^{2}}{2} (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Étape 11.3.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{y^{2}}{2} (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Étape 11.3.7.3

Soustrayez $8$ de $3$ .

$- \frac{y^{2}}{2} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Étape 11.3.8

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$4 \frac{y^{2}}{2} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Étape 11.3.9

Associez $4$ et $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{4 y^{2}}{2} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Étape 11.3.10

Associez $\frac{4 y^{2}}{2}$ et $x^{- 5}$ .

$\frac{4 y^{2} x^{- 5}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Étape 11.3.11

Placez $x^{- 5}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4 y^{2}}{2 x^{5}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Étape 11.3.12

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 11.3.12.1

Factorisez $2$ à partir de $4 y^{2}$ .

$\frac{2 (2 y^{2})}{2 x^{5}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Étape 11.3.12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.3.12.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{5}$ .

$\frac{2 (2 y^{2})}{2 (x^{5})} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Étape 11.3.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 y^{2})}{2 x^{5}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Étape 11.3.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 y^{2}}{x^{5}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{2 y^{2}}{x^{5}} + \frac{d g}{d x} = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Étape 11.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + \frac{2 y^{2}}{x^{5}} = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 12.1.1.1

Soustrayez $\frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} + \frac{2 y^{2}}{x^{5}} - \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}} = 0$

Étape 12.1.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d g}{d x} + \frac{2 y^{2} - 2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}} = 0$

Étape 12.1.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d g}{d x} + \frac{2 y^{2} - 2 (2 x^{2}) - 2 y^{2}}{x^{5}} = 0$

Étape 12.1.1.3.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{2 y^{2} - 4 x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}} = 0$

Étape 12.1.1.4

Associez les termes opposés dans $2 y^{2} - 4 x^{2} - 2 y^{2}$ .

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Étape 12.1.1.4.1

Soustrayez $2 y^{2}$ de $2 y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 4 x^{2} + 0}{x^{5}} = 0$

Étape 12.1.1.4.2

Additionnez $- 4 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 4 x^{2}}{x^{5}} = 0$

Étape 12.1.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1.5.1

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x^{5}$ .

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Étape 12.1.1.5.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 4 x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot - 4}{x^{5}} = 0$

Étape 12.1.1.5.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.1.1.5.1.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{5}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot - 4}{x^{2} x^{3}} = 0$

Étape 12.1.1.5.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot - 4}{x^{2} x^{3}} = 0$

Étape 12.1.1.5.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 4}{x^{3}} = 0$

Étape 12.1.1.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d g}{d x} - \frac{4}{x^{3}} = 0$

Étape 12.1.2

Ajoutez $\frac{4}{x^{3}}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = \frac{4}{x^{3}}$

Étape 13

Déterminez la primitive de $\frac{4}{x^{3}}$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = \frac{4}{x^{3}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Étape 13.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = 4 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Étape 13.4

Retirez $x^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$g (x) = 4 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Étape 13.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 13.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = 4 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Étape 13.5.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$g (x) = 4 \int x^{- 3} d x$

Étape 13.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$g (x) = 4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Étape 13.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.7.1

Simplifiez

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Étape 13.7.1.1

Associez $x^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = 4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Étape 13.7.1.2

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$g (x) = 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Étape 13.7.2

Simplifiez

$g (x) = 4 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Étape 13.7.3

Simplifiez

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Étape 13.7.3.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$g (x) = - 4 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Étape 13.7.3.2

Associez $- 4$ et $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$g (x) = \frac{- 4}{2 x^{2}} + C$

Étape 13.7.3.3

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 13.7.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{2}} + C$

Étape 13.7.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.7.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{2})} + C$

Étape 13.7.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$g (x) = \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{2}} + C$

Étape 13.7.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$g (x) = \frac{- 2}{x^{2}} + C$

Étape 13.7.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$g (x) = - \frac{2}{x^{2}} + C$

Étape 14

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2 x^{4}} + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2 x^{4}} - \frac{2}{x^{2}} + C$