Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 3 \frac{d y}{d x} = 3$

Étape 1

Laissez $v = \frac{d y}{d x}$ . Puis $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $v$ et $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ par $\frac{d v}{d x}$ pour obtenir une équation différentielle avec la variable dépendante $v$ et la variable indépendante $x$ .

$\frac{d v}{d x} + 3 v = 3$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = 3$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int 3 d x}$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{3 x + C_{1}}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{3 x}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{3 x}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d v}{d x} + e^{3 x} (3 v) = e^{3 x} \cdot 3$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{3 x} \frac{d v}{d x} + 3 e^{3 x} v = e^{3 x} \cdot 3$

Étape 3.3

Déplacez $3$ à gauche de $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d v}{d x} + 3 e^{3 x} v = 3 \cdot e^{3 x}$

Étape 3.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{3 x} \frac{d v}{d x} + 3 e^{3 x} v = 3 e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d v}{d x} + 3 v e^{3 x} = 3 e^{3 x}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} v] = 3 e^{3 x}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} v] d x = \int 3 e^{3 x} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$e^{3 x} v = \int 3 e^{3 x} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$e^{3 x} v = 3 \int e^{3 x} d x$

Étape 7.2

Laissez $u_{1} = 3 x$ . Alors $d u_{1} = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 7.2.1

Laissez $u_{1} = 3 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 7.2.1.1

Différenciez $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 7.2.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 7.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$e^{3 x} v = 3 \int e^{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1}$

Étape 7.3

Associez $e^{u_{1}}$ et $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} v = 3 \int \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1}$

Étape 7.4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{3 x} v = 3 (\frac{1}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Étape 7.5

Simplifiez

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Étape 7.5.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$e^{3 x} v = \frac{3}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1}$

Étape 7.5.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$e^{3 x} v = \frac{3}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1}$

Étape 7.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{3 x} v = 1 \int e^{u_{1}} d u_{1}$

Étape 7.5.3

Multipliez $\int e^{u_{1}} d u_{1}$ par $1$ .

$e^{3 x} v = \int e^{u_{1}} d u_{1}$

Étape 7.6

L’intégrale de $e^{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $e^{u_{1}}$ .

$e^{3 x} v = e^{u_{1}} + C_{2}$

Étape 7.7

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 x$ .

$e^{3 x} v = e^{3 x} + C_{2}$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $e^{3 x} v = e^{3 x} + C_{2}$ par $e^{3 x}$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $e^{3 x} v = e^{3 x} + C_{2}$ par $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} v}{e^{3 x}} = \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{3 x}$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{3 x} v}{e^{3 x}} = \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $v$ par $1$ .

$v = \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Annulez le facteur commun de $e^{3 x}$ .

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Étape 8.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$v = \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

Étape 8.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$v = 1 + \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $v$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 1 + \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

Étape 10

Réécrivez l’équation.

$d y = (1 + \frac{C_{2}}{e^{3 x}}) d x$

Étape 11

Intégrez les deux côtés.

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Étape 11.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int 1 + \frac{C_{2}}{e^{3 x}} d x$

Étape 11.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{3} = \int 1 + \frac{C_{2}}{e^{3 x}} d x$

Étape 11.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 11.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{3} = \int d x + \int \frac{C_{2}}{e^{3 x}} d x$

Étape 11.3.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{3} = x + C_{4} + \int \frac{C_{2}}{e^{3 x}} d x$

Étape 11.3.3

Comme $C_{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $C_{2}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} \int \frac{1}{e^{3 x}} d x$

Étape 11.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.3.4.1

Inversez l’exposant de $e^{3 x}$ et placez-le hors du dénominateur.

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} \int 1 {(e^{3 x})}^{- 1} d x$

Étape 11.3.4.2

Simplifiez

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Étape 11.3.4.2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{3 x})}^{- 1}$ .

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Étape 11.3.4.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} \int 1 e^{3 x \cdot - 1} d x$

Étape 11.3.4.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} \int 1 e^{- 3 x} d x$

Étape 11.3.4.2.2

Multipliez $e^{- 3 x}$ par $1$ .

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} \int e^{- 3 x} d x$

Étape 11.3.5

Laissez $u_{2} = - 3 x$ . Alors $d u_{2} = - 3 d x$ , donc $- \frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 11.3.5.1

Laissez $u_{2} = - 3 x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 11.3.5.1.1

Différenciez $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

Étape 11.3.5.1.2

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 11.3.5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Étape 11.3.5.1.4

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$- 3$

Étape 11.3.5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 3} d u_{2}$

Étape 11.3.6

Simplifiez

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Étape 11.3.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{3}) d u_{2}$

Étape 11.3.6.2

Associez $e^{u_{2}}$ et $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} \int - \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Étape 11.3.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} (- \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2})$

Étape 11.3.8

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} (- (\frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}))$

Étape 11.3.9

L’intégrale de $e^{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $e^{u_{2}}$ .

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} (- \frac{1}{3} (e^{u_{2}} + C_{5}))$

Étape 11.3.10

Simplifiez

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Étape 11.3.10.1

Simplifiez

$y + C_{3} = x - \frac{1}{3} C_{2} e^{u_{2}} + C_{6}$

Étape 11.3.10.2

Associez $e^{u_{2}}$ et $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{3} = x - \frac{e^{u_{2}}}{3} C_{2} + C_{6}$

Étape 11.3.11

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- 3 x$ .

$y + C_{3} = x - \frac{e^{- 3 x}}{3} C_{2} + C_{6}$

Étape 11.3.12

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{3} = x - \frac{1}{3} e^{- 3 x} C_{2} + C_{6}$

Étape 11.3.13

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{3} = - \frac{1}{3} e^{- 3 x} C_{2} + x + C_{6}$

Étape 11.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $D$ .

$y = - \frac{1}{3} e^{- 3 x} C + x + D$