Calcul infinitésimal Exemples

$5 x^{2} d x + 7 y^{3} d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $5 x^{2} d x$ des deux côtés de l’équation.

$7 y^{3} d y = - 5 x^{2} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int 7 y^{3} d y = \int - 5 x^{2} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Comme $7$ est constant par rapport à $y$ , placez $7$ en dehors de l’intégrale.

$7 \int y^{3} d y = \int - 5 x^{2} d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{3}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$7 (\frac{1}{4} y^{4} + C_{1}) = \int - 5 x^{2} d x$

Étape 2.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.2.3.1

Réécrivez $7 (\frac{1}{4} y^{4} + C_{1})$ comme $7 (\frac{1}{4}) y^{4} + C_{1}$ .

$7 (\frac{1}{4}) y^{4} + C_{1} = \int - 5 x^{2} d x$

Étape 2.2.3.2

Associez $7$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{7}{4} y^{4} + C_{1} = \int - 5 x^{2} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 5$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{7}{4} y^{4} + C_{1} = - 5 \int x^{2} d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{7}{4} y^{4} + C_{1} = - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $- 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ comme $- 5 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$\frac{7}{4} y^{4} + C_{1} = - 5 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.3.2.1

Associez $- 5$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{7}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{- 5}{3} x^{3} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{7}{4} y^{4} + C_{1} = - \frac{5}{3} x^{3} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{7}{4} y^{4} = - \frac{5}{3} x^{3} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{4}{7}$ .

$\frac{4}{7} (\frac{7}{4} y^{4}) = \frac{4}{7} (- \frac{5}{3} x^{3} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $\frac{4}{7} (\frac{7}{4} y^{4})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{7}{4}$ et $y^{4}$ .

$\frac{4}{7} \cdot \frac{7 y^{4}}{4} = \frac{4}{7} (- \frac{5}{3} x^{3} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Associez.

$\frac{4 (7 y^{4})}{7 \cdot 4} = \frac{4}{7} (- \frac{5}{3} x^{3} + K)$

Étape 3.2.1.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.2.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (7 y^{4})}{7 \cdot 4} = \frac{4}{7} (- \frac{5}{3} x^{3} + K)$

Étape 3.2.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{7 y^{4}}{7} = \frac{4}{7} (- \frac{5}{3} x^{3} + K)$

Étape 3.2.1.1.4

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 3.2.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 y^{4}}{7} = \frac{4}{7} (- \frac{5}{3} x^{3} + K)$

Étape 3.2.1.1.4.2

Divisez $y^{4}$ par $1$ .

$y^{4} = \frac{4}{7} (- \frac{5}{3} x^{3} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $\frac{4}{7} (- \frac{5}{3} x^{3} + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1.1

Associez $x^{3}$ et $\frac{5}{3}$ .

$y^{4} = \frac{4}{7} (- \frac{x^{3} \cdot 5}{3} + K)$

Étape 3.2.2.1.1.2

Déplacez $5$ à gauche de $x^{3}$ .

$y^{4} = \frac{4}{7} (- \frac{5 x^{3}}{3} + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{4} = \frac{4}{7} (- \frac{5 x^{3}}{3}) + \frac{4}{7} K$

Étape 3.2.2.1.3

Multipliez $\frac{4}{7} (- \frac{5 x^{3}}{3})$ .

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Étape 3.2.2.1.3.1

Multipliez $\frac{4}{7}$ par $\frac{5 x^{3}}{3}$ .

$y^{4} = - \frac{4 (5 x^{3})}{7 \cdot 3} + \frac{4}{7} K$

Étape 3.2.2.1.3.2

Multipliez $5$ par $4$ .

$y^{4} = - \frac{20 x^{3}}{7 \cdot 3} + \frac{4}{7} K$

Étape 3.2.2.1.3.3

Multipliez $7$ par $3$ .

$y^{4} = - \frac{20 x^{3}}{21} + \frac{4}{7} K$

Étape 3.2.2.1.4

Associez $\frac{4}{7}$ et $K$ .

$y^{4} = - \frac{20 x^{3}}{21} + \frac{4 K}{7}$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt[4]{- \frac{20 x^{3}}{21} + \frac{4 K}{7}}$

Étape 3.4

Simplifiez $\pm \sqrt[4]{- \frac{20 x^{3}}{21} + \frac{4 K}{7}}$ .

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Étape 3.4.1

Pour écrire $\frac{4 K}{7}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{- \frac{20 x^{3}}{21} + \frac{4 K}{7} \cdot \frac{3}{3}}$

Étape 3.4.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $21$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.4.2.1

Multipliez $\frac{4 K}{7}$ par $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{- \frac{20 x^{3}}{21} + \frac{4 K \cdot 3}{7 \cdot 3}}$

Étape 3.4.2.2

Multipliez $7$ par $3$ .

$y = \pm \sqrt[4]{- \frac{20 x^{3}}{21} + \frac{4 K \cdot 3}{21}}$

Étape 3.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{- 20 x^{3} + 4 K \cdot 3}{21}}$

Étape 3.4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.4.1

Factorisez $4$ à partir de $- 20 x^{3} + 4 K \cdot 3$ .

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Étape 3.4.4.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 20 x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{4 (- 5 x^{3}) + 4 K \cdot 3}{21}}$

Étape 3.4.4.1.2

Factorisez $4$ à partir de $4 K \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{4 (- 5 x^{3}) + 4 (K \cdot 3)}{21}}$

Étape 3.4.4.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 5 x^{3}) + 4 (K \cdot 3)$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{4 (- 5 x^{3} + K \cdot 3)}{21}}$

Étape 3.4.4.2

Déplacez $3$ à gauche de $K$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{4 (- 5 x^{3} + 3 K)}{21}}$

Étape 3.4.5

Réécrivez $\sqrt[4]{\frac{4 (- 5 x^{3} + 3 K)}{21}}$ comme $\frac{\sqrt[4]{4 (- 5 x^{3} + 3 K)}}{\sqrt[4]{21}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{4 (- 5 x^{3} + 3 K)}}{\sqrt[4]{21}}$

Étape 3.4.6

Multipliez $\frac{\sqrt[4]{4 (- 5 x^{3} + 3 K)}}{\sqrt[4]{21}}$ par $\frac{{\sqrt[4]{21}}^{3}}{{\sqrt[4]{21}}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{4 (- 5 x^{3} + 3 K)}}{\sqrt[4]{21}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{21}}^{3}}{{\sqrt[4]{21}}^{3}}$

Étape 3.4.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.7.1

Multipliez $\frac{\sqrt[4]{4 (- 5 x^{3} + 3 K)}}{\sqrt[4]{21}}$ par $\frac{{\sqrt[4]{21}}^{3}}{{\sqrt[4]{21}}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{4 (- 5 x^{3} + 3 K)} {\sqrt[4]{21}}^{3}}{\sqrt[4]{21} {\sqrt[4]{21}}^{3}}$

Étape 3.4.7.2

Élevez $\sqrt[4]{21}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{4 (- 5 x^{3} + 3 K)} {\sqrt[4]{21}}^{3}}{{\sqrt[4]{21}}^{1} {\sqrt[4]{21}}^{3}}$

Étape 3.4.7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{4 (- 5 x^{3} + 3 K)} {\sqrt[4]{21}}^{3}}{{\sqrt[4]{21}}^{1 + 3}}$

Étape 3.4.7.4

Additionnez $1$ et $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{4 (- 5 x^{3} + 3 K)} {\sqrt[4]{21}}^{3}}{{\sqrt[4]{21}}^{4}}$

Étape 3.4.7.5

Réécrivez ${\sqrt[4]{21}}^{4}$ comme $21$ .

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Étape 3.4.7.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{21}$ comme $21^{\frac{1}{4}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{4 (- 5 x^{3} + 3 K)} {\sqrt[4]{21}}^{3}}{{(21^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Étape 3.4.7.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{4 (- 5 x^{3} + 3 K)} {\sqrt[4]{21}}^{3}}{21^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Étape 3.4.7.5.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $4$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{4 (- 5 x^{3} + 3 K)} {\sqrt[4]{21}}^{3}}{21^{\frac{4}{4}}}$

Étape 3.4.7.5.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.4.7.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{4 (- 5 x^{3} + 3 K)} {\sqrt[4]{21}}^{3}}{21^{\frac{4}{4}}}$

Étape 3.4.7.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{4 (- 5 x^{3} + 3 K)} {\sqrt[4]{21}}^{3}}{21^{1}}$

Étape 3.4.7.5.5

Évaluez l’exposant.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{4 (- 5 x^{3} + 3 K)} {\sqrt[4]{21}}^{3}}{21}$

Étape 3.4.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.8.1

Réécrivez ${\sqrt[4]{21}}^{3}$ comme $\sqrt[4]{21^{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{4 (- 5 x^{3} + 3 K)} \sqrt[4]{21^{3}}}{21}$

Étape 3.4.8.2

Élevez $21$ à la puissance $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{4 (- 5 x^{3} + 3 K)} \sqrt[4]{9261}}{21}$

Étape 3.4.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.9.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{4 (- 5 x^{3} + 3 K) \cdot 9261}}{21}$

Étape 3.4.9.2

Multipliez $9261$ par $4$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{37044 (- 5 x^{3} + 3 K)}}{21}$

Étape 3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt[4]{37044 (- 5 x^{3} + 3 K)}}{21}$

Étape 3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt[4]{37044 (- 5 x^{3} + 3 K)}}{21}$

Étape 3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt[4]{37044 (- 5 x^{3} + 3 K)}}{21}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{37044 (- 5 x^{3} + 3 K)}}{21}$

$y = \frac{\sqrt[4]{37044 (- 5 x^{3} + 3 K)}}{21}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{37044 (- 5 x^{3} + 3 K)}}{21}$

$y = \frac{\sqrt[4]{37044 (- 5 x^{3} + 3 K)}}{21}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{37044 (- 5 x^{3} + 3 K)}}{21}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\sqrt[4]{37044 (- 5 x^{3} + K)}}{21}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{37044 (- 5 x^{3} + K)}}{21}$