Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2} - y^{2}}{2 x y}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle en fonction de $\frac{y}{x}$ .

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Étape 1.1

Séparez $\frac{6 x^{2} - y^{2}}{2 x y}$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez la fraction $\frac{6 x^{2} - y^{2}}{2 x y}$ en deux fractions.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Étape 1.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (3 x^{2})}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Étape 1.1.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (3 x^{2})}{2 (x y)} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Étape 1.1.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (3 x^{2})}{2 (x y)} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Étape 1.1.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Étape 1.1.2.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 x)}{x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Étape 1.1.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 x)}{x (y)} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Étape 1.1.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 x)}{x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Étape 1.1.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Étape 1.1.2.3

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Factorisez $y$ à partir de $- y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{y (- y)}{2 x y}$

Étape 1.1.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{y (- y)}{y (2 x)}$

Étape 1.1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{y (- y)}{y (2 x)}$

Étape 1.1.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{- y}{2 x}$

Étape 1.1.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} - \frac{y}{2 x}$

Étape 1.2

Réécrivez l’équation différentielle comme $f (\frac{y}{x})$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $\frac{x}{y}$ dans $\frac{3 x}{y}$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $\frac{x}{y}$ à partir de $\frac{3 x}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} \cdot 3 - \frac{y}{2 x}$

Étape 1.2.1.2

Remettez dans l’ordre $\frac{x}{y}$ et $3$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot \frac{x}{y} - \frac{y}{2 x}$

Étape 1.2.2

Réécrivez $\frac{x}{y}$ comme ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot {(\frac{y}{x})}^{- 1} - \frac{y}{2 x}$

Étape 1.3

Factorisez $\frac{y}{x}$ dans $\frac{y}{2 x}$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $\frac{y}{x}$ à partir de $\frac{y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot {(\frac{y}{x})}^{- 1} - (\frac{y}{x} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 1.3.2

Remettez dans l’ordre $\frac{y}{x}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot {(\frac{y}{x})}^{- 1} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x})$

Étape 2

Laissez $V = \frac{y}{x}$ . Remplacez $\frac{y}{x}$ par $V$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot V^{- 1} - (\frac{1}{2} V)$

Étape 3

Résolvez $V = \frac{y}{x}$ pour $y$ .

$y = V x$

Étape 4

Utilisez la règle de produit pour déterminer la dérivée de $y = V x$ par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Étape 5

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = 3 \cdot V^{- 1} - (\frac{1}{2} V)$

Étape 6

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 6.1

Séparez les variables.

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Étape 6.1.1

Résolvez $\frac{d V}{d x}$ .

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Étape 6.1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = 3 \cdot \frac{1}{V} - \frac{1}{2} V$

Étape 6.1.1.1.2

Associez $3$ et $\frac{1}{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{3}{V} - \frac{1}{2} V$

Étape 6.1.1.1.3

Associez $V$ et $\frac{1}{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{3}{V} - \frac{V}{2}$

Étape 6.1.1.2

Soustrayez $V$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{3}{V} - \frac{V}{2} - V$

Étape 6.1.1.3

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \frac{3}{V} - \frac{V}{2} - V$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 6.1.1.3.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \frac{3}{V} - \frac{V}{2} - V$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{3}{V}}{x} + \frac{- \frac{V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Étape 6.1.1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.1.1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{3}{V}}{x} + \frac{- \frac{V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Étape 6.1.1.3.2.1.2

Divisez $\frac{d V}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V}}{x} + \frac{- \frac{V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Étape 6.1.1.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1.1.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} - \frac{V}{2} - V}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.2

Pour écrire $- V$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} - \frac{V}{2} - V \cdot \frac{2}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1.1.3.3.3.1

Associez $- V$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} - \frac{V}{2} + \frac{- V \cdot 2}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{- V - V \cdot 2}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1.3.3.3.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1.3.3.3.3.1.1

Factorisez $V$ à partir de $- V - V \cdot 2$ .

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Étape 6.1.1.3.3.3.3.1.1.1

Factorisez $V$ à partir de $- V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{V \cdot - 1 - V \cdot 2}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3.3.1.1.2

Factorisez $V$ à partir de $- V \cdot 2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{V \cdot - 1 + V (- 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3.3.1.1.3

Factorisez $V$ à partir de $V \cdot - 1 + V (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{V (- 1 - 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{V (- 1 - 2)}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3.3.1.3

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{V \cdot - 3}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3.3.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{- 3 \cdot V}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} - \frac{3 V}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1.3.3.4.1

Pour écrire $\frac{3}{V}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 V}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4.2

Pour écrire $- \frac{3 V}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 V}{2} \cdot \frac{V}{V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $V \cdot 2$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.1.1.3.3.4.3.1

Multipliez $\frac{3}{V}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 \cdot 2}{V \cdot 2} - \frac{3 V}{2} \cdot \frac{V}{V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4.3.2

Multipliez $\frac{3 V}{2}$ par $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 \cdot 2}{V \cdot 2} - \frac{3 V \cdot V}{2 V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4.3.3

Réorganisez les facteurs de $V \cdot 2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 \cdot 2}{2 V} - \frac{3 V \cdot V}{2 V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 \cdot 2 - 3 V \cdot V}{2 V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1.3.3.4.5.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \cdot 2 - 3 V \cdot V$ .

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Étape 6.1.1.3.3.4.5.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \cdot 2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 (2) - 3 V \cdot V}{2 V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4.5.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3 V \cdot V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 (2) + 3 (- V \cdot V)}{2 V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4.5.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (2) + 3 (- V \cdot V)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 (2 - V \cdot V)}{2 V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4.5.2

Multipliez $V$ par $V$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.1.3.3.4.5.2.1

Déplacez $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 (2 - (V \cdot V))}{2 V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4.5.2.2

Multipliez $V$ par $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 (2 - V^{2})}{2 V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{d V}{d x} = \frac{3 (2 - V^{2})}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.6

Associez.

$\frac{d V}{d x} = \frac{3 (2 - V^{2}) \cdot 1}{2 V x}$

Étape 6.1.1.3.3.7

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{3 (2 - V^{2})}{2 V x}$

Étape 6.1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d V}{d x} = \frac{3 (2 - V^{2})}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 6.1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})}$ .

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} (\frac{3 (2 - V^{2})}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 6.1.4

Simplifiez

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Étape 6.1.4.1

Associez.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \cdot \frac{3 (2 - V^{2}) \cdot 1}{2 V x}$

Étape 6.1.4.2

Associez.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V (3 (2 - V^{2}) \cdot 1)}{3 (2 - V^{2}) (2 V x)}$

Étape 6.1.4.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V (3 (2 - V^{2}) \cdot 1)}{3 (2 - V^{2}) (2 V x)}$

Étape 6.1.4.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{V (3 (2 - V^{2}) \cdot 1)}{3 (2 - V^{2}) (V x)}$

Étape 6.1.4.4

Annulez le facteur commun de $V$ .

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Étape 6.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{V (3 (2 - V^{2}) \cdot 1)}{3 (2 - V^{2}) (V x)}$

Étape 6.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{3 (2 - V^{2}) \cdot 1}{3 (2 - V^{2}) (x)}$

Étape 6.1.4.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.1.4.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{3 (2 - V^{2}) \cdot 1}{3 (2 - V^{2}) x}$

Étape 6.1.4.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{(2 - V^{2}) \cdot 1}{(2 - V^{2}) (x)}$

Étape 6.1.4.6

Annulez le facteur commun de $2 - V^{2}$ .

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Étape 6.1.4.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{(2 - V^{2}) \cdot 1}{(2 - V^{2}) x}$

Étape 6.1.4.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 6.1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} d V = \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 6.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $V$ , placez $\frac{2}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{3} \int \frac{V}{2 - V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.2

Laissez $u = 2 - V^{2}$ . Alors $d u = - 2 V d V$ , donc $- \frac{1}{2} d u = V d V$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.2.2.2.1

Laissez $u = 2 - V^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d V}$ .

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Étape 6.2.2.2.1.1

Différenciez $2 - V^{2}$ .

$\frac{d}{d V} [2 - V^{2}]$

Étape 6.2.2.2.1.2

Différenciez.

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Étape 6.2.2.2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - V^{2}$ par rapport à $V$ est $\frac{d}{d V} [2] + \frac{d}{d V} [- V^{2}]$ .

$\frac{d}{d V} [2] + \frac{d}{d V} [- V^{2}]$

Étape 6.2.2.2.1.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $V$ , la dérivée de $2$ par rapport à $V$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d V} [- V^{2}]$

Étape 6.2.2.2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d V} [- V^{2}]$ .

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Étape 6.2.2.2.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $V$ , la dérivée de $- V^{2}$ par rapport à $V$ est $- \frac{d}{d V} [V^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d V} [V^{2}]$

Étape 6.2.2.2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ est $n V^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - (2 V)$

Étape 6.2.2.2.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 - 2 V$

Étape 6.2.2.2.1.4

Soustrayez $2 V$ de $0$ .

$- 2 V$

Étape 6.2.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.2

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{3} \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.3

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\frac{2}{3} \int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{3} (- \int \frac{1}{2 u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{3} (- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.6

Simplifiez

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Étape 6.2.2.6.1

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.6.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$- \frac{2}{6} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.6.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 6.2.2.6.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{2 (1)}{6} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.6.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.6.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.6.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.6.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.7

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.8

Simplifiez

$- \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 - V^{2}$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 2 - V^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 2 - V^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 6.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 2 - V^{2} |) = \ln (| x |) + C$

Étape 6.3

Résolvez $V$ .

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Étape 6.3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 3$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 2 - V^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1.1

Simplifiez $- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 2 - V^{2} |))$ .

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Étape 6.3.2.1.1.1

Associez $\ln (| 2 - V^{2} |)$ et $\frac{1}{3}$ .

$- 3 (- \frac{\ln (| 2 - V^{2} |)}{3}) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.3.2.1.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\ln (| 2 - V^{2} |)}{3}$ dans le numérateur.

$- 3 \frac{- \ln (| 2 - V^{2} |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2.1.1.2.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$3 (- 1) \frac{- \ln (| 2 - V^{2} |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2.1.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 2 - V^{2} |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2.1.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$- - \ln (| 2 - V^{2} |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2.1.1.3

Multipliez.

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Étape 6.3.2.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \ln (| 2 - V^{2} |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2.1.1.3.2

Multipliez $\ln (| 2 - V^{2} |)$ par $1$ .

$\ln (| 2 - V^{2} |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 2 - V^{2} |) = - 3 \ln (| x |) - 3 C$

Étape 6.3.3

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| 2 - V^{2} |) + 3 \ln (| x |) = - 3 C$

Étape 6.3.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.4.1

Simplifiez $\ln (| 2 - V^{2} |) + 3 \ln (| x |)$ .

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Étape 6.3.4.1.1

Simplifiez $3 \ln (| x |)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\ln (| 2 - V^{2} |) + \ln ({| x |}^{3}) = - 3 C$

Étape 6.3.4.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 2 - V^{2} | {| x |}^{3}) = - 3 C$

Étape 6.3.5

Pour résoudre $V$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| 2 - V^{2} | {| x |}^{3})} = e^{- 3 C}$

Étape 6.3.6

Réécrivez $\ln (| 2 - V^{2} | {| x |}^{3}) = - 3 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- 3 C} = | 2 - V^{2} | {| x |}^{3}$

Étape 6.3.7

Résolvez $V$ .

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Étape 6.3.7.1

Réécrivez l’équation comme $| 2 - V^{2} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ .

$| 2 - V^{2} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$

Étape 6.3.7.2

Divisez chaque terme dans $| 2 - V^{2} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ par ${| x |}^{3}$ et simplifiez.

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Étape 6.3.7.2.1

Divisez chaque terme dans $| 2 - V^{2} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ par ${| x |}^{3}$ .

$\frac{| 2 - V^{2} | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Étape 6.3.7.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.7.2.2.1

Annulez le facteur commun de ${| x |}^{3}$ .

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Étape 6.3.7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| 2 - V^{2} | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Étape 6.3.7.2.2.1.2

Divisez $| 2 - V^{2} |$ par $1$ .

$| 2 - V^{2} | = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Étape 6.3.7.3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$2 - V^{2} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Étape 6.3.7.4

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- V^{2} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 2$

Étape 6.3.7.5

Divisez chaque terme dans $- V^{2} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.3.7.5.1

Divisez chaque terme dans $- V^{2} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 2$ par $- 1$ .

$\frac{- V^{2}}{- 1} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Étape 6.3.7.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.7.5.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{V^{2}}{1} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Étape 6.3.7.5.2.2

Divisez $V^{2}$ par $1$ .

$V^{2} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Étape 6.3.7.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.7.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.7.5.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1}$ .

$V^{2} = - 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + \frac{- 2}{- 1}$

Étape 6.3.7.5.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}})$ comme $- (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}})$ .

$V^{2} = - (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + \frac{- 2}{- 1}$

Étape 6.3.7.5.3.1.3

Divisez $- 2$ par $- 1$ .

$V^{2} = - (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + 2$

Étape 6.3.7.6

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$V = \pm \sqrt{- (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + 2}$

Étape 6.4

Regroupez les termes constants.

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Étape 6.4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$V = \pm \sqrt{- (\pm \frac{C}{{| x |}^{3}}) + 2}$

Étape 6.4.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$V = \pm \sqrt{- (C \frac{1}{{| x |}^{3}}) + 2}$

Étape 7

Remplacez $V$ par $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \pm \sqrt{- (C \frac{1}{{| x |}^{3}}) + 2}$

Étape 8

Résolvez $\frac{y}{x} = \pm \sqrt{- (C \frac{1}{{| x |}^{3}}) + 2}$ pour $y$ .

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Étape 8.1

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{- (C (\frac{1}{{| x |}^{3}})) + 2}) x$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{- (C (\frac{1}{{| x |}^{3}})) + 2}) x$

Étape 8.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = (\pm \sqrt{- (C (\frac{1}{{| x |}^{3}})) + 2}) x$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.2.1

Simplifiez $(\pm \sqrt{- (C (\frac{1}{{| x |}^{3}})) + 2}) x$ .

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Étape 8.2.2.1.1

Associez $C$ et $\frac{1}{{| x |}^{3}}$ .

$y = (\pm \sqrt{- \frac{C}{{| x |}^{3}} + 2}) x$

Étape 8.2.2.1.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{| x |}^{3}}{{| x |}^{3}}$ .

$y = (\pm \sqrt{- \frac{C}{{| x |}^{3}} + \frac{2 {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}}}) x$

Étape 8.2.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = (\pm \sqrt{\frac{- C + 2 {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}}}) x$

Étape 8.2.2.1.4

Réécrivez $\frac{- C + 2 {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}}$ comme ${(\frac{1}{| x |})}^{2} \frac{- C + 2 {| x |}^{3}}{| x |}$ .

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Étape 8.2.2.1.4.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $- C + 2 {| x |}^{3}$ .

$y = (\pm \sqrt{\frac{1^{2} (- C + 2 {| x |}^{3})}{{| x |}^{3}}}) x$

Étape 8.2.2.1.4.2

Factorisez la puissance parfaite ${| x |}^{2}$ dans ${| x |}^{3}$ .

$y = (\pm \sqrt{\frac{1^{2} (- C + 2 {| x |}^{3})}{{| x |}^{2} | x |}}) x$

Étape 8.2.2.1.4.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} (- C + 2 {| x |}^{3})}{{| x |}^{2} | x |}$ .

$y = (\pm \sqrt{{(\frac{1}{| x |})}^{2} \frac{- C + 2 {| x |}^{3}}{| x |}}) x$

Étape 8.2.2.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = (\pm \frac{1}{| x |} \sqrt{\frac{- C + 2 {| x |}^{3}}{| x |}}) x$

Étape 8.2.2.1.6

Réécrivez $\sqrt{\frac{- C + 2 {| x |}^{3}}{| x |}}$ comme $\frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = (\pm \frac{1}{| x |} \cdot \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{\sqrt{| x |}}) x$

Étape 8.2.2.1.7

Associez.

$y = (\pm \frac{1 \sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{| x | \sqrt{| x |}}) x$

Étape 8.2.2.1.8

Multipliez $\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}$ par $1$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{| x | \sqrt{| x |}}) x$

Étape 8.2.2.1.9

Multipliez $\frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{| x | \sqrt{| x |}}$ par $\frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{| x | \sqrt{| x |}} \cdot \frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}) x$

Étape 8.2.2.1.10

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.2.1.10.1

Multipliez $\frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{| x | \sqrt{| x |}}$ par $\frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | \sqrt{| x |} \sqrt{| x |}}) x$

Étape 8.2.2.1.10.2

Déplacez $\sqrt{| x |}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | (\sqrt{| x |} \sqrt{| x |})}) x$

Étape 8.2.2.1.10.3

Élevez $\sqrt{| x |}$ à la puissance $1$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | ({\sqrt{| x |}}^{1} \sqrt{| x |})}) x$

Étape 8.2.2.1.10.4

Élevez $\sqrt{| x |}$ à la puissance $1$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | ({\sqrt{| x |}}^{1} {\sqrt{| x |}}^{1})}) x$

Étape 8.2.2.1.10.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {\sqrt{| x |}}^{1 + 1}}) x$

Étape 8.2.2.1.10.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {\sqrt{| x |}}^{2}}) x$

Étape 8.2.2.1.10.7

Réécrivez ${\sqrt{| x |}}^{2}$ comme $| x |$ .

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Étape 8.2.2.1.10.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{| x |}$ comme ${| x |}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{2}}) x$

Étape 8.2.2.1.10.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) x$

Étape 8.2.2.1.10.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{\frac{2}{2}}}) x$

Étape 8.2.2.1.10.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.2.1.10.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{\frac{2}{2}}}) x$

Étape 8.2.2.1.10.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{1}}) x$

Étape 8.2.2.1.10.7.5

Simplifiez

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | | x |}) x$

Étape 8.2.2.1.11

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = (\pm \frac{\sqrt{(- C + 2 {| x |}^{3}) | x |}}{| x | | x |}) x$

Étape 8.2.2.1.12

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$y = (\pm \frac{\sqrt{(- C + 2 {| x |}^{3}) | x |}}{| x \cdot x |}) x$

Étape 8.2.2.1.13

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.2.1.13.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{(- C + 2 {| x |}^{3}) | x |}}{| x^{2} |}) x$

Étape 8.2.2.1.13.2

Retirez les termes non négatifs de la valeur absolue.

$y = (\pm \frac{\sqrt{(- C + 2 {| x |}^{3}) | x |}}{x^{2}}) x$

Étape 8.2.2.1.14

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $(\pm \frac{\sqrt{(- C + 2 {| x |}^{3}) | x |}}{x^{2}}) x$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{| x | (- C + 2 {| x |}^{3})}}{x^{2}}) x$