Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{e^{2 x}}{x}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{e^{2 x}}{x}$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{\frac{e^{2 x}}{x}}{x}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{\frac{e^{2 x}}{x}}{x}$

Étape 1.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{\frac{e^{2 x}}{x}}{x}$

Étape 1.3

Factorisez $y$ à partir de $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = \frac{\frac{e^{2 x}}{x}}{x}$

Étape 1.4

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = \frac{\frac{e^{2 x}}{x}}{x}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{2}{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Étape 2.2

Intégrez $\frac{2}{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 2.2.3

Simplifiez

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{2 \ln (x)}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (x^{2})}$

Étape 2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x^{2}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} \frac{\frac{e^{2 x}}{x}}{x}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Associez $\frac{2}{x}$ et $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\frac{e^{2 x}}{x}}{x}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\frac{e^{2 x}}{x}}{x}$

Étape 3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\frac{e^{2 x}}{x}}{x}$

Étape 3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} \frac{\frac{e^{2 x}}{x}}{x}$

Étape 3.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{\frac{e^{2 x}}{x}}{x}$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \cdot x \frac{\frac{e^{2 x}}{x}}{x}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \cdot x \frac{\frac{e^{2 x}}{x}}{x}$

Étape 3.3.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \frac{e^{2 x}}{x}$

Étape 3.4

Associez $x$ et $\frac{e^{2 x}}{x}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \frac{x e^{2 x}}{x}$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \frac{x e^{2 x}}{x}$

Étape 3.5.2

Divisez $e^{2 x}$ par $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = e^{2 x}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = e^{2 x}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int e^{2 x} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$x^{2} y = \int e^{2 x} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 7.1.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 7.1.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 7.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$x^{2} y = \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 7.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$x^{2} y = \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 7.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$x^{2} y = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Étape 7.4

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

Étape 7.5

Simplifiez

$x^{2} y = \frac{1}{2} e^{u} + C$

Étape 7.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $x^{2} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ par $x^{2}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $x^{2} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ par $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x}}{2}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.3.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{e^{2 x}}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.3.1.3

Associez.

$y = \frac{e^{2 x} \cdot 1}{2 x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.3.1.4

Multipliez $e^{2 x}$ par $1$ .

$y = \frac{e^{2 x}}{2 x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$