Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + y \sec (x) = \tan (x)$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Factorisez $y$ à partir de $y \sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + y (\sec (x)) = \tan (x)$

Étape 1.2

Remettez dans l’ordre $y$ et $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + \sec (x) y = \tan (x)$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \sec (x)$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \sec (x) d x}$

Étape 2.2

L’intégrale de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$e^{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{\ln (\sec (x) + \tan (x))}$

Étape 2.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$\sec (x) + \tan (x)$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\sec (x) + \tan (x)$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $\sec (x) + \tan (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) \frac{d y}{d x} + (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) y) = (\sec (x) + \tan (x)) \tan (x)$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) y) = (\sec (x) + \tan (x)) \tan (x)$

Étape 3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) (\sec (x) y) + \tan (x) (\sec (x) y) = (\sec (x) + \tan (x)) \tan (x)$

Étape 3.2.3

Multipliez $\sec (x) (\sec (x) y)$ .

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Étape 3.2.3.1

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{1} (x) \sec (x) y + \tan (x) (\sec (x) y) = (\sec (x) + \tan (x)) \tan (x)$

Étape 3.2.3.2

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) y + \tan (x) (\sec (x) y) = (\sec (x) + \tan (x)) \tan (x)$

Étape 3.2.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + {\sec (x)}^{1 + 1} y + \tan (x) (\sec (x) y) = (\sec (x) + \tan (x)) \tan (x)$

Étape 3.2.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) y + \tan (x) (\sec (x) y) = (\sec (x) + \tan (x)) \tan (x)$

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) y + \tan (x) \sec (x) y = (\sec (x) + \tan (x)) \tan (x)$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) y + \tan (x) \sec (x) y = \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \tan (x)$

Étape 3.4

Multipliez $\tan (x) \tan (x)$ .

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Étape 3.4.1

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) y + \tan (x) \sec (x) y = \sec (x) \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan (x)$

Étape 3.4.2

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) y + \tan (x) \sec (x) y = \sec (x) \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x)$

Étape 3.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) y + \tan (x) \sec (x) y = \sec (x) \tan (x) + {\tan (x)}^{1 + 1}$

Étape 3.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) y + \tan (x) \sec (x) y = \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x)$

Étape 3.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) y + \tan (x) \sec (x) y = \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x)$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + y \sec^{2} (x) + y \tan (x) \sec (x) = \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x)$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [(\sec (x) + \tan (x)) y] = \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x)$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [(\sec (x) + \tan (x)) y] d x = \int \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \int \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \int \sec (x) \tan (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

Étape 7.2

Comme la dérivée de $\sec (x)$ est $\sec (x) \tan (x)$ , l’intégrale de $\sec (x) \tan (x)$ est $\sec (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) + C + \int \tan^{2} (x) d x$

Étape 7.3

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\tan^{2} (x)$ comme $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) + C + \int - 1 + \sec^{2} (x) d x$

Étape 7.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) + C + \int - 1 d x + \int \sec^{2} (x) d x$

Étape 7.5

Appliquez la règle de la constante.

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) + C - x + C + \int \sec^{2} (x) d x$

Étape 7.6

Comme la dérivée de $\tan (x)$ est $\sec^{2} (x)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (x)$ est $\tan (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) + C - x + C + \tan (x) + C$

Étape 7.7

Simplifiez

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) - x + \tan (x) + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) - x + \tan (x) + C$ par $\sec (x) + \tan (x)$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) - x + \tan (x) + C$ par $\sec (x) + \tan (x)$ .

$\frac{(\sec (x) + \tan (x)) y}{\sec (x) + \tan (x)} = \frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{- x}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $\sec (x) + \tan (x)$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(\sec (x) + \tan (x)) y}{\sec (x) + \tan (x)} = \frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{- x}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{- x}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{x}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

Étape 8.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\sec (x) - x}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

Étape 8.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\sec (x) - x + \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

Étape 8.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\sec (x) - x + \tan (x) + C}{\sec (x) + \tan (x)}$