Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d Q}{d t} + \frac{1}{20} Q = 0$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (t) d t}$ , où $P (t) = \frac{1}{20}$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{1}{20} d t}$

Étape 1.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{\frac{1}{20} t + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{\frac{1}{20} t}$

Étape 1.4

Associez $\frac{1}{20}$ et $t$ .

$e^{\frac{t}{20}}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{\frac{t}{20}}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $e^{\frac{t}{20}}$ .

$e^{\frac{t}{20}} \frac{d Q}{d t} + e^{\frac{t}{20}} (\frac{1}{20} Q) = e^{\frac{t}{20}} \cdot 0$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{\frac{t}{20}} \frac{d Q}{d t} + \frac{1}{20} e^{\frac{t}{20}} Q = e^{\frac{t}{20}} \cdot 0$

Étape 2.2.2

Associez $\frac{1}{20}$ et $e^{\frac{t}{20}}$ .

$e^{\frac{t}{20}} \frac{d Q}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{20}}}{20} Q = e^{\frac{t}{20}} \cdot 0$

Étape 2.2.3

Associez $\frac{e^{\frac{t}{20}}}{20}$ et $Q$ .

$e^{\frac{t}{20}} \frac{d Q}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{20}} Q}{20} = e^{\frac{t}{20}} \cdot 0$

Étape 2.3

Multipliez $e^{\frac{t}{20}}$ par $0$ .

$e^{\frac{t}{20}} \frac{d Q}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{20}} Q}{20} = 0$

Étape 2.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{\frac{t}{20}} \frac{d Q}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{20}} Q}{20} = 0$ .

$e^{\frac{t}{20}} \frac{d Q}{d t} + \frac{Q e^{\frac{t}{20}}}{20} = 0$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{20}} Q] = 0$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{20}} Q] d t = \int 0 d t$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$e^{\frac{t}{20}} Q = \int 0 d t$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

L’intégrale de $0$ par rapport à $t$ est $0$ .

$e^{\frac{t}{20}} Q = 0 + C$

Étape 6.2

Additionnez $0$ et $C$ .

$e^{\frac{t}{20}} Q = C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $e^{\frac{t}{20}} Q = C$ par $e^{\frac{t}{20}}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $e^{\frac{t}{20}} Q = C$ par $e^{\frac{t}{20}}$ .

$\frac{e^{\frac{t}{20}} Q}{e^{\frac{t}{20}}} = \frac{C}{e^{\frac{t}{20}}}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{\frac{t}{20}}$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{\frac{t}{20}} Q}{e^{\frac{t}{20}}} = \frac{C}{e^{\frac{t}{20}}}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $Q$ par $1$ .

$Q = \frac{C}{e^{\frac{t}{20}}}$