Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{2} + 25}{y^{3} - y^{2}} = 0$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Simplifiez $\frac{d y}{d x} + \frac{x^{2} + 25}{y^{3} - y^{2}}$ .

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Étape 1.1.1.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{3} - y^{2}$ .

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Étape 1.1.1.1.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} y - y^{2}} = 0$

Étape 1.1.1.1.2

Factorisez $y^{2}$ à partir de $- y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} y + y^{2} \cdot - 1} = 0$

Étape 1.1.1.1.3

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} y + y^{2} \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Étape 1.1.1.2

Pour écrire $\frac{d y}{d x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(y - 1) y^{2}}{(y - 1) y^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} \cdot \frac{(y - 1) y^{2}}{(y - 1) y^{2}} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Étape 1.1.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(y - 1) y^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Associez $\frac{d y}{d x}$ et $\frac{(y - 1) y^{2}}{(y - 1) y^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} ((y - 1) y^{2})}{(y - 1) y^{2}} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Étape 1.1.1.3.2

Réorganisez les facteurs de $(y - 1) y^{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} ((y - 1) y^{2})}{y^{2} (y - 1)} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Étape 1.1.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x} ((y - 1) y^{2}) + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Étape 1.1.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(\frac{d y}{d x} y + \frac{d y}{d x} \cdot - 1) y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Étape 1.1.1.5.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{(\frac{d y}{d x} y - 1 \cdot \frac{d y}{d x}) y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Étape 1.1.1.5.3

Réécrivez $- 1 \frac{d y}{d x}$ comme $- \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{(\frac{d y}{d x} y - \frac{d y}{d x}) y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Étape 1.1.1.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{d y}{d x} y \cdot y^{2} - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Étape 1.1.1.5.5

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.1.5.5.1

Déplacez $y^{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (y^{2} y) - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Étape 1.1.1.5.5.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

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Étape 1.1.1.5.5.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (y^{2} y^{1}) - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Étape 1.1.1.5.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d y}{d x} y^{2 + 1} - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Étape 1.1.1.5.5.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} y^{3} - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Étape 1.1.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$\frac{d y}{d x} y^{3} - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25 = 0$

Étape 1.1.3

Résolvez l’équation pour $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d y}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1.3.1.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} y^{3} - \frac{d y}{d x} y^{2} + 25 = - x^{2}$

Étape 1.1.3.1.2

Soustrayez $25$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} y^{3} - \frac{d y}{d x} y^{2} = - x^{2} - 25$

Étape 1.1.3.2

Factorisez $\frac{d y}{d x} y^{2}$ à partir de $\frac{d y}{d x} y^{3} - \frac{d y}{d x} y^{2}$ .

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Étape 1.1.3.2.1

Factorisez $\frac{d y}{d x} y^{2}$ à partir de $\frac{d y}{d x} y^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} y^{2} y - \frac{d y}{d x} y^{2} = - x^{2} - 25$

Étape 1.1.3.2.2

Factorisez $\frac{d y}{d x} y^{2}$ à partir de $- \frac{d y}{d x} y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} y^{2} y + \frac{d y}{d x} y^{2} \cdot - 1 = - x^{2} - 25$

Étape 1.1.3.2.3

Factorisez $\frac{d y}{d x} y^{2}$ à partir de $\frac{d y}{d x} y^{2} y + \frac{d y}{d x} y^{2} \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} y^{2} (y - 1) = - x^{2} - 25$

Étape 1.1.3.3

Divisez chaque terme dans $\frac{d y}{d x} y^{2} (y - 1) = - x^{2} - 25$ par $y^{2} (y - 1)$ et simplifiez.

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Étape 1.1.3.3.1

Divisez chaque terme dans $\frac{d y}{d x} y^{2} (y - 1) = - x^{2} - 25$ par $y^{2} (y - 1)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} y^{2} (y - 1)}{y^{2} (y - 1)} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

Étape 1.1.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 1.1.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x} y^{2} (y - 1)}{y^{2} (y - 1)} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

Étape 1.1.3.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{d y}{d x} (y - 1)}{y - 1} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

Étape 1.1.3.3.2.2

Annulez le facteur commun de $y - 1$ .

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Étape 1.1.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x} (y - 1)}{y - 1} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

Étape 1.1.3.3.2.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

Étape 1.1.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.3.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

Étape 1.1.3.3.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)} - \frac{25}{y^{2} (y - 1)}$

Étape 1.2

Factorisez.

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Étape 1.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)} - \frac{25}{y^{2} (y - 1)}$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)}) - \frac{25}{y^{2} (y - 1)}$

Étape 1.2.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{25}{y^{2} (y - 1)}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)}) - (\frac{25}{y^{2} (y - 1)})$

Étape 1.2.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)}) - (\frac{25}{y^{2} (y - 1)})$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{25}{y^{2} (y - 1)})$

Étape 1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $y^{2} (y - 1)$ .

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = y^{2} (y - 1) (- \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)})$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = - y^{2} (y - 1) \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)}$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun de $y^{2} (y - 1)$ .

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Étape 1.4.2.1

Factorisez $y^{2} (y - 1)$ à partir de $- y^{2} (y - 1)$ .

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = y^{2} (y - 1) (- 1) \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)}$

Étape 1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = y^{2} (y - 1) \cdot - 1 \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)}$

Étape 1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = - (x^{2} + 25)$

Étape 1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = - x^{2} - 1 \cdot 25$

Étape 1.4.4

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = - x^{2} - 25$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$y^{2} (y - 1) d y = (- x^{2} - 25) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y^{2} (y - 1) d y = \int - x^{2} - 25 d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Multipliez $y^{2} (y - 1)$ .

$\int y^{2} y + y^{2} \cdot - 1 d y = \int - x^{2} - 25 d x$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Multipliez $y^{2}$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

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Étape 2.2.2.1.1.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\int y^{2} y^{1} + y^{2} \cdot - 1 d y = \int - x^{2} - 25 d x$

Étape 2.2.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int y^{2 + 1} + y^{2} \cdot - 1 d y = \int - x^{2} - 25 d x$

Étape 2.2.2.1.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int y^{3} + y^{2} \cdot - 1 d y = \int - x^{2} - 25 d x$

Étape 2.2.2.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $y^{2}$ .

$\int y^{3} - 1 \cdot y^{2} d y = \int - x^{2} - 25 d x$

Étape 2.2.2.3

Réécrivez $- 1 y^{2}$ comme $- y^{2}$ .

$\int y^{3} - y^{2} d y = \int - x^{2} - 25 d x$

Étape 2.2.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int y^{3} d y + \int - y^{2} d y = \int - x^{2} - 25 d x$

Étape 2.2.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{3}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + \int - y^{2} d y = \int - x^{2} - 25 d x$

Étape 2.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} - \int y^{2} d y = \int - x^{2} - 25 d x$

Étape 2.2.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} - (\frac{1}{3} y^{3} + C_{2}) = \int - x^{2} - 25 d x$

Étape 2.2.7

Simplifiez

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = \int - x^{2} - 25 d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = \int - x^{2} d x + \int - 25 d x$

Étape 2.3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = - \int x^{2} d x + \int - 25 d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + \int - 25 d x$

Étape 2.3.4

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) - 25 x + C_{5}$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = - (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) - 25 x + C_{5}$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = - \frac{1}{3} x^{3} - 25 x + C_{6}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{3} x^{3} - 25 x + K$