Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 1 + x^{2} + y^{2} + x^{2} y^{2}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Factorisez.

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Étape 1.1.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.1.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{d y}{d x} = (1 + x^{2}) + y^{2} + x^{2} y^{2}$

Étape 1.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{d y}{d x} = 1 (1 + x^{2}) + y^{2} \cdot (1 + x^{2})$

Étape 1.1.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $1 + x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = (1 + x^{2}) (1 + y^{2})$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $1 + y^{2}$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $1 + y^{2}$ à partir de $(1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) (1 + x^{2}))$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) (1 + x^{2}))$

Étape 1.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 + x^{2}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = (1 + x^{2}) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int 1 + x^{2} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int 1 + x^{2} d x$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ par rapport à $y$ est $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int 1 + x^{2} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\arctan (y) + C_{1} = \int d x + \int x^{2} d x$

Étape 2.3.2

Appliquez la règle de la constante.

$\arctan (y) + C_{1} = x + C_{2} + \int x^{2} d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = x + C_{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C_{3}$

Étape 2.3.4

Simplifiez

$\arctan (y) + C_{1} = x + \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + x + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\arctan (y) = \frac{1}{3} x^{3} + x + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Prenez l’arc tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de l’arc tangente.

$y = \tan (\frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$y = \tan (\frac{x^{3}}{3} + x + K)$