Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{y}$ , $y (- 1) = - 2$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{6 x^{2}}{y}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{6 x^{2}}{y}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y \frac{d y}{d x} = 6 x^{2}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$y d y = 6 x^{2} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int 6 x^{2} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 6 x^{2} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 6 \int x^{2} d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ comme $6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.3.2.1

Associez $6$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{6}{3} x^{3} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 2.3.3.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.3.2.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{1} x^{3} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 x^{3} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = 2 x^{3} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (2 x^{3} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (2 x^{3} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (2 x^{3} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (2 x^{3} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (2 x^{3} + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 (2 x^{3}) + 2 K$

Étape 3.2.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y^{2} = 4 x^{3} + 2 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{4 x^{3} + 2 K}$

Étape 3.4

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{3} + 2 K$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (2 x^{3}) + 2 K}$

Étape 3.4.2

Factorisez $2$ à partir de $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (2 x^{3}) + 2 K}$

Étape 3.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{3}) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

Étape 3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

Étape 3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

Étape 3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

$y = \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

$y = \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

Étape 4

Comme $y$ est négatif dans la condition initiale $(- 1, - 2)$ , ne tenez compte que de $y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$ pour déterminer le $K$ . Remplacez $x$ par $- 1$ et $y$ par $- 2$ .

$- 2 = - \sqrt{2 (2 {(- 1)}^{3} + K)}$

Étape 5

Résolvez $K$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $- \sqrt{2 (2 {(- 1)}^{3} + K)} = - 2$ .

$- \sqrt{2 (2 {(- 1)}^{3} + K)} = - 2$

Étape 5.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(- \sqrt{2 (2 {(- 1)}^{3} + K)})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Étape 5.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 5.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 (2 {(- 1)}^{3} + K)}$ comme ${(2 (2 {(- 1)}^{3} + K))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(2 (2 {(- 1)}^{3} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez ${(- {(2 (2 {(- 1)}^{3} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.2.1.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

${(- {(2 (2 \cdot - 1 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Étape 5.3.2.1.1.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

${(- {(2 (- 2 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Étape 5.3.2.1.2

Simplifiez en multipliant.

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Étape 5.3.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

${(- {(2 \cdot - 2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Étape 5.3.2.1.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.2.1.2.2.1

Multipliez $2$ par $- 2$ .

${(- {(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Étape 5.3.2.1.2.2.2

Appliquez la règle de produit à $- {(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Étape 5.3.2.1.2.2.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 {({(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Étape 5.3.2.1.2.2.4

Multipliez ${({(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ par $1$ .

${({(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Étape 5.3.2.1.2.2.5

Multipliez les exposants dans ${({(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.3.2.1.2.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

Étape 5.3.2.1.2.2.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.1.2.2.5.2.1

Annulez le facteur commun.

${(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

Étape 5.3.2.1.2.2.5.2.2

Réécrivez l’expression.

${(- 4 + 2 K)}^{1} = {(- 2)}^{2}$

Étape 5.3.2.1.3

Simplifiez

$- 4 + 2 K = {(- 2)}^{2}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$- 4 + 2 K = 4$

Étape 5.4

Résolvez $K$ .

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Étape 5.4.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.4.1.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$2 K = 4 + 4$

Étape 5.4.1.2

Additionnez $4$ et $4$ .

$2 K = 8$

Étape 5.4.2

Divisez chaque terme dans $2 K = 8$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.4.2.1

Divisez chaque terme dans $2 K = 8$ par $2$ .

$\frac{2 K}{2} = \frac{8}{2}$

Étape 5.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 K}{2} = \frac{8}{2}$

Étape 5.4.2.2.1.2

Divisez $K$ par $1$ .

$K = \frac{8}{2}$

Étape 5.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.3.1

Divisez $8$ par $2$ .

$K = 4$

Étape 6

Remplacez $K$ par $4$ dans $y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Remplacez $K$ par $4$ .

$y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + 4)}$

Étape 6.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3} + 4$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3}$ .

$y = - \sqrt{2 (2 (x^{3}) + 4)}$

Étape 6.2.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + 2 \cdot 2)}$

Étape 6.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3} + 2 \cdot 2$ .

$y = - \sqrt{2 (2 (x^{3} + 2))}$

$y = - \sqrt{2 \cdot 2 (x^{3} + 2)}$

Étape 6.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = - \sqrt{4 (x^{3} + 2)}$

Étape 6.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = - \sqrt{2^{2} (x^{3} + 2)}$

Étape 6.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = - (2 \sqrt{x^{3} + 2})$

Étape 6.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = - 2 \sqrt{x^{3} + 2}$