Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + y}{2 x}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Réécrivez l’équation comme $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1.1

Divisez la fraction $\frac{x + y}{2 x}$ en deux fractions.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 x} + \frac{y}{2 x}$

Étape 1.1.2

Soustrayez $\frac{y}{2 x}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{2 x} = \frac{x}{2 x}$

Étape 1.2

Factorisez $y$ à partir de $- \frac{y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{2 x}) = \frac{x}{2 x}$

Étape 1.3

Remettez dans l’ordre $y$ et $- \frac{1}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{2 x} y = \frac{x}{2 x}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - \frac{1}{2 x}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - \frac{1}{2 x} d x}$

Étape 2.2

Intégrez $- \frac{1}{2 x}$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \int \frac{1}{2 x} d x}$

Étape 2.2.2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x)}$

Étape 2.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{- \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C)}$

Étape 2.2.4

Simplifiez

$e^{- \frac{1}{2} \ln (| x |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- \frac{1}{2} \ln (x)}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (x^{- \frac{1}{2}})}$

Étape 2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x^{- \frac{1}{2}}$

Étape 2.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ et $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Étape 3.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Étape 3.2.3

Associez $\frac{1}{2 x}$ et $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{y}{2 x} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Étape 3.2.4

Multipliez $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{y}{2 x}$ .

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Étape 3.2.4.1

Multipliez $\frac{y}{2 x}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x \cdot x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Étape 3.2.4.2

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.4.2.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 (x^{\frac{1}{2}} x)} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Étape 3.2.4.2.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x$ .

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Étape 3.2.4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1})} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Étape 3.2.4.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2} + 1}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Étape 3.2.4.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Étape 3.2.4.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{1 + 2}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Étape 3.2.4.2.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Étape 3.3

Associez.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1 x}{x^{\frac{1}{2}} (2 x)}$

Étape 3.4

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1 x}{x \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Étape 3.4.2

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1 x}{x^{1} x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Étape 3.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1 x}{x^{1 + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

Étape 3.4.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1 x}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

Étape 3.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1 x}{x^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot 2}$

Étape 3.4.5

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1 x}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Étape 3.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{x}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Étape 3.6

Placez $x^{1}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 x^{- 1}}$

Étape 3.7

Multipliez $x^{\frac{3}{2}}$ par $x^{- 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.7.1

Déplacez $x^{- 1}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{- 1} x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Étape 3.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{- 1 + \frac{3}{2}} \cdot 2}$

Étape 3.7.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} \cdot 2}$

Étape 3.7.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} \cdot 2}$

Étape 3.7.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}} \cdot 2}$

Étape 3.7.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{- 2 + 3}{2}} \cdot 2}$

Étape 3.7.6.2

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Étape 3.8

Déplacez $2$ à gauche de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y] = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y] d x = \int \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 7.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 7.2.1

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 7.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 7.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 7.2.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 7.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 7.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Étape 7.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.4.1

Réécrivez $\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$ comme $\frac{1}{2} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 7.4.2

Simplifiez

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Étape 7.4.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{2}{2} x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 7.4.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{2}{2} x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 7.4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = 1 x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 7.4.2.3

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ et $y$ .

$\frac{y}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 8.2

Multipliez les deux côtés par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = (x^{\frac{1}{2}} + C) x^{\frac{1}{2}}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 8.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = (x^{\frac{1}{2}} + C) x^{\frac{1}{2}}$

Étape 8.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = (x^{\frac{1}{2}} + C) x^{\frac{1}{2}}$

Étape 8.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.2.1

Simplifiez $(x^{\frac{1}{2}} + C) x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 8.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + C x^{\frac{1}{2}}$

Étape 8.3.2.1.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.3.2.1.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + C x^{\frac{1}{2}}$

Étape 8.3.2.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = x^{\frac{1 + 1}{2}} + C x^{\frac{1}{2}}$

Étape 8.3.2.1.2.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = x^{\frac{2}{2}} + C x^{\frac{1}{2}}$

Étape 8.3.2.1.2.4

Divisez $2$ par $2$ .

$y = x^{1} + C x^{\frac{1}{2}}$

Étape 8.3.2.1.3

Simplifiez $x^{1}$ .

$y = x + C x^{\frac{1}{2}}$