Calcul infinitésimal Exemples

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + x y - x = 0$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 1 \frac{d y}{d x} + x y - x = 0$

Étape 1.1.1.2

Multipliez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + x y - x = 0$

Étape 1.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d y}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1.2.1

Soustrayez $x y$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} - x = - x y$

Étape 1.1.2.2

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} = - x y + x$

Étape 1.1.3

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ à partir de $x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.3.1

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ à partir de $x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = - x y + x$

Étape 1.1.3.2

Élevez $\frac{d y}{d x}$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = - x y + x$

Étape 1.1.3.3

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ à partir de ${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1 = - x y + x$

Étape 1.1.3.4

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ à partir de $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - x y + x$

Étape 1.1.4

Divisez chaque terme dans $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - x y + x$ par $x^{2} + 1$ et simplifiez.

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Étape 1.1.4.1

Divisez chaque terme dans $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - x y + x$ par $x^{2} + 1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{- x y}{x^{2} + 1} + \frac{x}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 1$ .

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Étape 1.1.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{- x y}{x^{2} + 1} + \frac{x}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.4.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y}{x^{2} + 1} + \frac{x}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y + x}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.4.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $- x y + x$ .

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Étape 1.1.4.3.2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $- x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- 1 y) + x}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.4.3.2.1.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- 1 y) + x^{1}}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.4.3.2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- 1 y) + x \cdot 1}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.4.3.2.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x (- 1 y) + x \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- 1 y + 1)}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.4.3.2.2

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- y + 1)}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.4.3.3

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.1.4.3.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- (y) + 1)}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.4.3.3.2

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- (y) - 1 (- 1))}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.4.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y) - 1 (- 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- (y - 1))}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.4.3.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.4.3.3.4.1

Réécrivez $- (y - 1)$ comme $- 1 (y - 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- 1 (y - 1))}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.4.3.3.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (y - 1)}{x^{2} + 1}$

Étape 1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{x^{2} + 1} (y - 1)$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y - 1}$ .

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 1} (- \frac{x}{x^{2} + 1} (y - 1))$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y - 1} (\frac{x}{x^{2} + 1} (y - 1))$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun de $y - 1$ .

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Étape 1.4.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{y - 1}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y - 1} (\frac{x}{x^{2} + 1} (y - 1))$

Étape 1.4.2.2

Factorisez $y - 1$ à partir de $\frac{x}{x^{2} + 1} (y - 1)$ .

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y - 1} ((y - 1) \frac{x}{x^{2} + 1})$

Étape 1.4.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y - 1} ((y - 1) \frac{x}{x^{2} + 1})$

Étape 1.4.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{x}{x^{2} + 1}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y - 1} d y = - \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y - 1} d y = \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u_{1} = y - 1$ . Puis $d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u_{1} = y - 1$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.2.1.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.2.1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y - 1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u_{2} = x^{2} + 1$ . Alors $d u_{2} = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u_{2} = x^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 2.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.2.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 2.3.2.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{u_{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Étape 2.3.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{2}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Étape 2.3.5

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Étape 2.3.6

Simplifiez

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Étape 2.3.7

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{2} + 1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y - 1 |) = - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.1

Associez $\ln (| x^{2} + 1 |)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y - 1 |) = - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y - 1 |) + \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Étape 3.3

Pour écrire $\ln (| y - 1 |)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y - 1 |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Étape 3.4

Simplifiez les termes.

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Étape 3.4.1

Associez $\ln (| y - 1 |)$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y - 1 |) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Étape 3.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\ln (| y - 1 |) \cdot 2 + \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Étape 3.5

Déplacez $2$ à gauche de $\ln (| y - 1 |)$ .

$\frac{2 \ln (| y - 1 |) + \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Étape 3.6

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.1

Simplifiez $\frac{2 \ln (| y - 1 |) + \ln (| x^{2} + 1 |)}{2}$ .

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Étape 3.6.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1.1.1

Simplifiez $2 \ln (| y - 1 |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{\ln ({| y - 1 |}^{2}) + \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Étape 3.6.1.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| y - 1 |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\frac{\ln ({(y - 1)}^{2}) + \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Étape 3.6.1.1.3

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln ({(y - 1)}^{2} | x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Étape 3.6.1.2

Réécrivez $\frac{\ln ({(y - 1)}^{2} | x^{2} + 1 |)}{2}$ comme $\frac{1}{2} \ln ({(y - 1)}^{2} | x^{2} + 1 |)$ .

$\frac{1}{2} \ln ({(y - 1)}^{2} | x^{2} + 1 |) = C$

Étape 3.6.1.3

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln ({(y - 1)}^{2} | x^{2} + 1 |)$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$\ln ({({(y - 1)}^{2} | x^{2} + 1 |)}^{\frac{1}{2}}) = C$

Étape 3.6.1.4

Appliquez la règle de produit à ${(y - 1)}^{2} | x^{2} + 1 |$ .

$\ln ({({(y - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Étape 3.6.1.5

Multipliez les exposants dans ${({(y - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.6.1.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln ({(y - 1)}^{2 (\frac{1}{2})} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Étape 3.6.1.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.6.1.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\ln ({(y - 1)}^{2 (\frac{1}{2})} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Étape 3.6.1.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln ({(y - 1)}^{1} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Étape 3.6.1.6

Simplifiez

$\ln ((y - 1) {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Étape 3.6.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} - 1 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Étape 3.6.1.8

Réécrivez $- 1 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ comme $- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} - {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Étape 3.7

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} - {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})} = e^{C}$

Étape 3.8

Réécrivez $\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} - {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} - {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Étape 3.9

Résolvez $y$ .

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Étape 3.9.1

Réécrivez l’équation comme $y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} - {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ .

$y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} - {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$

Étape 3.9.2

Ajoutez ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ aux deux côtés de l’équation.

$y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Étape 3.9.3

Divisez chaque terme dans $y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ par ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ et simplifiez.

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Étape 3.9.3.1

Divisez chaque terme dans $y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ par ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.9.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.9.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.9.3.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.9.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.9.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{e^{C} + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{C + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$