Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = - x e^{- x}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Factorisez $y$ à partir de $- \frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{x}) = - x e^{- x}$

Étape 1.2

Remettez dans l’ordre $y$ et $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = - x e^{- x}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - \frac{1}{x}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2

Intégrez $- \frac{1}{x}$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Étape 2.2.3

Simplifiez

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- \ln (x)}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Étape 2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x^{- 1}$

Étape 2.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\frac{1}{x}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (- x e^{- x})$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (- x e^{- x})$

Étape 3.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (- x e^{- x})$

Étape 3.2.3

Associez $\frac{1}{x}$ et $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} (- x e^{- x})$

Étape 3.2.4

Multipliez $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

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Étape 3.2.4.1

Multipliez $\frac{y}{x}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (- x e^{- x})$

Étape 3.2.4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (- x e^{- x})$

Étape 3.2.4.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (- x e^{- x})$

Étape 3.2.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (- x e^{- x})$

Étape 3.2.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (- x e^{- x})$

Étape 3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = - \frac{1}{x} (x e^{- x})$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x}$ dans le numérateur.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{- 1}{x} (x e^{- x})$

Étape 3.4.2

Factorisez $x$ à partir de $x e^{- x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{- 1}{x} (x (e^{- x}))$

Étape 3.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{- 1}{x} (x e^{- x})$

Étape 3.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = - e^{- x}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = - e^{- x}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int - e^{- x} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$\frac{1}{x} y = \int - e^{- x} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{x} y = - \int e^{- x} d x$

Étape 7.2

Laissez $u = - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.2.1

Laissez $u = - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.2.1.1

Différenciez $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Étape 7.2.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 7.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{x} y = - \int - e^{u} d u$

Étape 7.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{x} y = - - \int e^{u} d u$

Étape 7.4

Simplifiez

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Étape 7.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = 1 \int e^{u} d u$

Étape 7.4.2

Multipliez $\int e^{u} d u$ par $1$ .

$\frac{1}{x} y = \int e^{u} d u$

Étape 7.5

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\frac{1}{x} y = e^{u} + C$

Étape 7.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$\frac{1}{x} y = e^{- x} + C$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $y$ .

$\frac{y}{x} = e^{- x} + C$

Étape 8.2

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{y}{x} x = (e^{- x} + C) x$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x} x = (e^{- x} + C) x$

Étape 8.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = (e^{- x} + C) x$

Étape 8.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.2.1

Simplifiez $(e^{- x} + C) x$ .

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Étape 8.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = e^{- x} x + C x$

Étape 8.3.2.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.3.2.1.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- x} x + C x$ .

$y = x e^{- x} + C x$

Étape 8.3.2.1.2.2

Remettez dans l’ordre $x e^{- x}$ et $C x$ .

$y = C x + x e^{- x}$